3和歌山県立医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

絶対値の中身の符号で場合分けすると、 $$f(x)=\begin{cases} x+1 &(x<0),\\ 1-x &(0\leq x\leq2),\\ x-3 &(x>2) \end{cases}$$ である。 　 したがって $C$ は点 $(0,1)$ と $(2,-1)$ を折れ点とする折れ線である。各区間の直線を延長する概形を次に示す。

(2) 各区間で $f(x)=ax$ を解く。$x<0$ の枝の解は $x=1/(a-1)$ であり、$a<1$ のときに限りこの枝上にある。 　 $0\leq x\leq2$ の枝の解は $x=1/(a+1)$ であり、$a\geq-1/2$ のときに限りこの区間にある。 　 $x>2$ の枝の解は $x=3/(1-a)$ であり、$-1/2<a<1$ のときに限りこの枝上にある。 　 $a=-1/2$ では中央の枝の解が折れ点 $x=2$ となり、右の枝の延長も同じ点を通るが、共有点は一つと数える。以上より、共有点の個数は $$\begin{cases} 1 &(a<-1/2),\\ 2 &(a=-1/2),\\ 3 &(-1/2<a<1),\\ 1 &(a\geq1) \end{cases}$$ である。

(3) 共有点が2個以上となる範囲は $-1/2\leq a<1$ である。この範囲では交点の $x$ 座標を小さい順に $$\displaystyle x_L=-\frac{1}{1-a},\qquad x_M=\frac{1}{1+a},\qquad x_R=\frac{3}{1-a}$$ と表せ、$x_L\leq0\leq x_M\leq2\leq x_R$ である。$a=-1/2$ のときは $x_M=x_R=2$ となる。 　 左の枝の交点から $x=0$ までの三角形の面積は $1/[2(1-a)]$、$x=0$ から中央の枝の交点までの三角形の面積は $1/[2(1+a)]$ である。中央の交点から $x=2$ まで、および $x=2$ から右の枝の交点までの三角形の面積は、それぞれ $(1+2a)^2/[2(1+a)]$、$(1+2a)^2/[2(1-a)]$ となる。これらを合計して $$\displaystyle S(a)=\frac{1}{2(1-a)}+\frac{1}{2(1+a)}+\frac{(1+2a)^2}{2(1+a)}+\frac{(1+2a)^2}{2(1-a)} =\frac{1+(1+2a)^2}{1-a^2}$$ を得る。この範囲では分母は正である。商の微分により $$\displaystyle S'(a)=\frac{4(a^2+3a+1)}{(1-a^2)^2}$$ となる。 　 分子の零点は $(-3-\sqrt5)/2$ と $(-3+\sqrt5)/2$ である。前者は範囲外であり、後者を $a_0$ とおくと、$S'(a)<0$ は $-1/2\leq a<a_0$ で、$S'(a)>0$ は $a_0<a<1$ である。したがって $a=a_0=(-3+\sqrt5)/2$ のとき最小となる。 　 ここで $$\displaystyle 1+2a_0=\sqrt5-2,\qquad 1-a_0^2=\frac{3\sqrt5-5}{2}$$ より $$\displaystyle S(a_0)=\frac{1+(\sqrt5-2)^2}{(3\sqrt5-5)/2}=\sqrt5-1$$ を得る。