4和歌山県立医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

$z,z^2,z^3$ が互いに異なるので、$z$ は $0,1$ のいずれでもなく、$|z||1-z|>0$ である。条件 $AB=AC$ は $$|z-z^2|=|z-z^3|, \qquad |z||1-z|=|z||1-z||1+z|$$ と書ける。共通の正の因子を約して $|z+1|=1$ を得る。 　 逆向きと除外点も確認する。三点のうち二点が一致する条件をそれぞれ書くと $$\begin{aligned} A=B &\text{すなわち} z(1-z)=0\text{すなわち} z=0,1,\\ A=C &\text{すなわち} z(1-z^2)=0\text{すなわち} z=0,1,-1,\\ B=C &\text{すなわち} z^2(1-z)=0\text{すなわち} z=0,1. \end{aligned}$$ よって三点が互いに異なるための条件は、$z$ が $0,1,-1$ のいずれでもないことである。この三つの値について $|z+1|$ を調べると $$|0+1|=1,\qquad |1+1|=2,\qquad |-1+1|=0$$ だから、円周 $|z+1|=1$ 上にあるのは $z=0$ だけである。したがって円周から原点を除いた各点では三点は互いに異なり、また $z=0,1$ ではないので共通因子 $|z||1-z|$ を掛け戻せば $AB=AC$ となる。以上より、条件を満たす $A$ の軌跡は中心 $(-1,0)$、半径 $1$ の円周から原点を除いたものである。

(2) $AB=AC$ だから三角形 $ABC$ は二等辺三角形である。直角が $B$ または $C$ にあると、底角が等しいことから両方が直角になってしまうので、直角は $A$ にある。各辺の長さを複素数の差で表すと $$AB=|z||1-z|,\qquad AC=|z||1-z||1+z|,\qquad BC=|z|^2|1-z|$$ である。したがって $BC/AB=|z|$ であり、直角二等辺三角形の三平方の定理から $BC^2=2AB^2$、よって $|z|=\sqrt2$ となる。 　 $z=u+vi$（$u,v$ は実数）とおくと、$|z+1|=1$ と $|z|=\sqrt2$ より $$(u+1)^2+v^2=1,\qquad u^2+v^2=2$$ である。差をとると $u=-1$、したがって $v=\pm1$ である。求める値は $z=-1\pm i$ である。例えば $z=-1+i$ のとき $z^2=-2i,z^3=2+2i$ であり三点は互いに異なる。共役な場合も同様で、いずれも上の条件を満たす。

(3) 正三角形であるためには、すでに等しい $AB,AC$ に加えて $BC=AB$ が必要十分である。辺の長さの式から $BC/AB=|z|$ なので、ここでは $|z|=1$ となる。これと $|z+1|=1$ から $$u^2+v^2=1,\qquad (u+1)^2+v^2=1$$ を得る。差をとると $u=-1/2$、よって $v=\pm\sqrt3/2$ である。したがって $z=-1/2\pm(\sqrt3/2)i$ である。 　 $z=-1/2+(\sqrt3/2)i$ のとき $$\displaystyle A=\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right),\quad B=\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}{2}\right),\quad C=(1,0)$$ となり、三辺の長さはいずれも $\sqrt3$ である。もう一方の $z$ では $A,B$ の位置が入れ替わる。例えば前者の場合の三角形は次のとおりである。