IV防衛医科大学校 2022年 数学 第IV問解答・解説

(1) $|z|=1$ より $$\displaystyle |w|=\left|\frac{\sqrt2-i}{z}\right|=|\sqrt2-i|=\sqrt3.$$ 従って $w$ の軌跡は原点中心、半径 $\sqrt3$ の円で、選択肢2。

(2) $\beta=1/\alpha$ と置き、$|\alpha-(2+i)|=2$ に $\alpha=1/\beta$ を代入する。$\beta\ne0$ なので両辺に $|\beta|$ を掛けて $$|1-(2+i)\beta|=2|\beta|.$$ 両辺を平方すると $$1-2\operatorname{Re}((2+i)\beta)+5|\beta|^2=4|\beta|^2,$$ したがって $|\beta|^2-2\operatorname{Re}((2+i)\beta)+1=0$。$\beta=x+iy$ として整理すれば $$(x-2)^2+(y+1)^2=4.$$ よって $C_2$ は中心 $(2,-1)$、半径2の円である。一方 $C_1$ は中心 $(2,1)$、半径2の円で、中心間距離は2。

2円の交点を結ぶ弦は中心線に垂直で、その中点は中心間の中点と一致する。各中心から交点への半径と中心線が作る角は $\pi/3$ なので、共通部分は各円の中心角 $2\pi/3$ の扇形から二つの正三角形を除いたものが2つ分である。従って $$\displaystyle [C_1\cap C_2]=2\left(\frac12\cdot2^2\cdot\frac{2\pi}{3}-\frac12\cdot2^2\sin\frac{2\pi}{3}\right) =\frac{8\pi}{3}-2\sqrt3.$$ 選択肢4。