VI防衛医科大学校 2022年 数学 第VI問解答・解説

$0<x\le1$ より $\log(1/x^k)\ge0$ である。$f(x)=0$ となるのは $$\displaystyle \log\frac1{x^k}=\left(m+\frac12\right)\pi\qquad(m=0,1,2,\ldots)$$ のときであり、これを $x$ について解くと $$\displaystyle x=\exp\left(-\frac{(m+1/2)\pi}{k}\right)$$ を得る。この値は $m$ が大きくなるほど小さいから $$\displaystyle a_m=e^{-\frac{(m+1/2)\pi}{k}}.$$

$k=2$ のとき、$a_i=e^{-(i+1/2)\pi/2}=e^{-\pi/4}(e^{-\pi/2})^i$ である。公比 $e^{-\pi/2}$ は $0$ と $1$ の間なので、等比級数の和の極限から $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{i=0}^{n}a_i=\frac{e^{-\pi/4}}{1-e^{-\pi/2}}.$$ 従って $[17]=1,\ [18]=4,\ [19]=1,\ [20]=2$ である。

次に $k=3$ とすると $$a_3=e^{-7\pi/6},\qquad a_4=e^{-9\pi/6}=e^{-3\pi/2}.$$ $\log$ は自然対数なので $f(x)=\cos(-3\log x)=\cos(3\log x)$ である。$t=\log x$ と置けば $x=e^t,\ dx=e^t\,dt$。部分積分を二度用いて $$\displaystyle I=\int e^t\cos3t\,dt=e^t\cos3t+3\int e^t\sin3t\,dt, \qquad \int e^t\sin3t\,dt=e^t\sin3t-3I$$ となるから、$10I=e^t(\cos3t+3\sin3t)$。従って原始関数は $$\displaystyle F(x)=\frac{x}{10}\{\cos(3\log x)+3\sin(3\log x)\}.$$ $3\log a_3=-7\pi/2$、$3\log a_4=-9\pi/2$ であり、それぞれの余弦は $0$、正弦は順に $1,-1$ だから $$\displaystyle \int_{a_4}^{a_3}f(x)\,dx=F(a_3)-F(a_4)=\frac3{10}(a_3+a_4)=\frac3{10}e^{-3\pi/2}\left(1+e^{\pi/3}\right).$$ よって残りの欄は $[21]=3,\ [22]=3,\ [23]=2,\ [24]=1,\ [25]=3$ である。