2神戸大学 2021年 数学 第2問解答・解説

(1) 　 $x=\sin\theta$ とおくと、$dx=\cos\theta\,d\theta$ であり、$0\leq\theta\leq\pi/2$ では $\cos\theta\geq0$ だから $\sqrt{1-x^2}=\cos\theta$ である。 $$\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}\sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta=\frac14\int_0^{\pi/2}\sin^2 2\theta\,d\theta=\frac18\int_0^{\pi/2}(1-\cos4\theta)\,d\theta=\frac18\left[\theta-\frac14\sin4\theta\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{16}.$$ (2) 　 $t=x^2+1$ とおくと、$dt=2x\,dx$、$x^2=t-1$ であり、積分区間は $x=0,1$ に対してそれぞれ $t=1,2$ となる。よって $$\displaystyle J=\int_0^1x^3\log(x^2+1)\,dx=\frac12\int_1^2(t-1)\log t\,dt.$$ 部分積分により $\displaystyle \int t\log t\,dt=\frac{t^2}{2}\log t-\frac{t^2}{4}$、また $\displaystyle \int\log t\,dt=t\log t-t$ だから、 $$\displaystyle J=\frac12\left[\left(\frac{t^2}{2}-t\right)\log t-\frac{t^2}{4}+t\right]_1^2=\frac12\left(1-\frac34\right)=\frac18.$$ ここでは問題の表記 $\log$ を自然対数として扱った。