3長崎大学 2021年 数学 第3問解答・解説

(1) $u=1+\log_3 x$ とおく。底が $3>1$ なので、 $1/3\leq x\leq 3$ において $0\leq u\leq 2$ である。また $\log_3(3x)=1+\log_3x=u$ だから、$$y=-2u^3+3u^2+1.$$ よって $u$ で微分すると $$\displaystyle \frac{dy}{du}=-6u^2+6u=6u(1-u).$$ したがって $0\leq u\leq 1$ で増加し、$1\leq u\leq 2$ で減少する。候補点での値は $y(0)=1,\ y(1)=2,\ y(2)=-3$ である。$x=3^{u-1}$ より、最大値は $2$（そのとき $u=1, x=1$）、最小値は $-3$（そのとき $u=2, x=3$）である。

(2) 特性方程式は $r^2-5r+6=0$、すなわち $(r-2)(r-3)=0$ である。したがって一般項を $a_n=A2^{n-1}+B3^{n-1}$ とおくと、初項条件から $A+B=1,\ 2A+3B=4$ となり、$A=-1, B=2$ を得る。よって $$a_n=2\cdot3^{n-1}-2^{n-1}.$$ また求める関係式は $$a_{n+2}-(\alpha+\beta)a_{n+1}+\alpha\beta a_n=0$$ と同値である。もとの漸化式との差を取ると $$(5-\alpha-\beta)a_{n+1}+(\alpha\beta-6)a_n=0$$ がすべての $n$ で成り立つ。$n=1,2$ とし、$a_1=1,a_2=4,a_3=14$ を代入すると、$P=5-\alpha-\beta, Q=\alpha\beta-6$ に対して $4P+Q=0, 14P+4Q=0$ を得るから $P=Q=0$。したがって $\alpha+\beta=5,\ \alpha\beta=6$ であり、$(\alpha,\beta)=(2,3)$ または $(3,2)$ である。さらに $$\displaystyle a_n=3^{n-1}\left(2-\left(\frac23\right)^{n-1}\right)$$ であり、括弧内は $2$ に近づき、$3^{n-1}$ は正の無限大に発散するので $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}a_n=+\infty$。

(3) $\displaystyle I(x)=\int_0^x\sin(x-t)f(t)\,dt$ とおき、さらに $\displaystyle A(x)=\int_0^x\cos t f(t)\,dt,\ B(x)=\int_0^x\sin t f(t)\,dt$ とおく。正弦の差の公式から $I(x)=\sin x A(x)-\cos x B(x)$ である。微分積分の基本定理により $A'(x)=\cos x f(x),\ B'(x)=\sin x f(x)$ だから、積の微分を用いて $$I'(x)=\cos x A(x)+\sin x B(x),$$ $$I''(x)=-\sin x A(x)+\cos x B(x)+f(x)=f(x)-I(x).$$ もとの等式は $f(x)=2+I(x)$ なので $f''(x)=I''(x)=2$。また $x=0$ で $I(0)=I'(0)=0$ であるから $f(0)=2,\ f'(0)=0$。ゆえに $f''(x)=2$ を積分して $f'(x)=2x$、さらに積分して $f(x)=x^2+2$ を得る。検算として $u=x-t$ と置換し部分積分すると、$$\displaystyle \int_0^x\sin(x-t)(t^2+2)\,dt=(x^2+2)(1-\cos x)-2x(-x\cos x+\sin x)-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x-2=x^2,$$ したがって $\displaystyle 2+\int_0^x\sin(x-t)(t^2+2)\,dt=x^2+2$ となり、得た $f$ はもとの等式を満たす。