6長崎大学 2021年 数学 第6問解答・解説

長方形の内部では、右辺が $x=1$、上辺が $y=1$ である。$t=\tan\theta$ とおくと、加法定理より、直線 $m_2$ の傾きは$$\displaystyle u=\tan\left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{t+1}{1-t}.$$ ここで $-1<t<1$ であり、$u>0$ である。また、$u\leq 1$ は $t\leq0$ と同値で、$u>1$ は $t>0$ と同値である。

$-1<t\leq0$ のとき、$P=(1,t)$、$Q=(1,u)$ となるので、座標による距離から$$\displaystyle f(t)=PQ=u-t=\frac{1+t}{1-t}-t=\frac{1+t^2}{1-t}.$$ $0<t<1$ のときは、$P=(1,t)$、$\displaystyle Q=(1/u,1)=\left(\frac{1-t}{1+t},1\right)$ である。したがって $PC=1-t$、$\displaystyle CQ=1-\frac{1-t}{1+t}=\frac{2t}{1+t}$ であり、$$\displaystyle f(t)=PC+CQ=1-t+\frac{2t}{1+t}=\frac{1+2t-t^2}{1+t}.$$ 以上が (1) の答えである。

(2) では $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{8}>0$ である。$\displaystyle x=\tan\frac{\pi}{8}$ とおくと、二倍角の公式から $\displaystyle 1=\tan\frac{\pi}{4}=\frac{2x}{1-x^2}$ であり、$x>0$ より $x=\sqrt{2}-1$ である。これを正の範囲の式に代入して$$\displaystyle f(x)=1-(\sqrt{2}-1)+\frac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}=4-2\sqrt{2}.$$

(3) $f(0)=1$ であり、$t\leq0$ の式の $t=0$ における左微分係数は $1$ である。一方、$t>0$ の式を $\displaystyle g(t)=1-t+\frac{2t}{1+t}$ とすると、右微分係数は $g'(0)=-1+2=1$ である。左右の微分係数が一致するから、$t=0$ で微分可能であり、$f'(0)=1$ である。

(4) $-1<t<0$ では$$\displaystyle f'(t)=\frac{2t(1-t)+(1+t^2)}{(1-t)^2}=\frac{1+2t-t^2}{(1-t)^2}.$$ 分母は正であり、分子の零点は $t=1\pm\sqrt{2}$ である。このうち$-1<t<0$ を満たすのは $r=1-\sqrt{2}$ だけで、$f'(t)<0$ は $-1<t<r$、$f'(t)>0$ は $r<t<0$ である。また、$0<t<1$ では$$\displaystyle f'(t)=-1+\frac{2}{(1+t)^2}.$$ その零点は $s=\sqrt{2}-1$ であり、$f'(t)>0$ は $0<t<s$、$f'(t)<0$ は $s<t<1$ である。さらに $f'(0)=1$ なので、$f$ は $r$ まで減少し、$r$ から $s$ まで増加し、$s$ から先は減少する。$$\displaystyle f(r)=\frac{1+(1-\sqrt{2})^2}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}-2,\qquad f(s)=1-(\sqrt{2}-1)+\frac{2(\sqrt{2}-1)}{\sqrt{2}}=4-2\sqrt{2}.$$ 端の極限は$$\displaystyle \lim\limits _{t\to-1+0}f(t)=\frac{2}{2}=1,\qquad \lim\limits _{t\to1-0}f(t)=1-1+\frac{2}{2}=1.$$ 増減表は$$\begin{array}{c|ccccccccc}t&-1&&r&&0&&s&&1\\\hline f'(t)&&-&0&+&1&+&0&-&\\\hline f(t)&1&\searrow&2\sqrt{2}-2&\nearrow&1&\nearrow&4-2\sqrt{2}&\searrow&1\end{array}$$ である。なお、$t=-1,1$ は定義域に含まれない。したがって、最小値は $2\sqrt{2}-2$ であり、$\displaystyle t=1-\sqrt{2}=\tan(-\frac{\pi}{8})$、すなわち $\displaystyle \theta=-\frac{\pi}{8}$ のときにとる。最大値は $4-2\sqrt{2}$ であり、$\displaystyle t=\sqrt{2}-1=\tan\frac{\pi}{8}$、すなわち $\displaystyle \theta=\frac{\pi}{8}$ のときにとる。