10長崎大学 2021年 数学 第10問解答・解説

(2) 断面積を積分する。 $$\displaystyle \begin{aligned} V_1&=\pi\tan^2\theta\int_0^{3c}t^2\,dt +\pi\int_{3c}^3(9-t^2)\,dt\\ &=9\pi s^2c+\pi(18-27c+9c^3)\\ &=18\pi(1-c)=18\pi(1-\cos\theta). \end{aligned}$$

(3) 円錐の底面中心を $M$ とすると $$\displaystyle M=\left(0,\frac94,\frac{3\sqrt3}{4}\right),\quad OM=\frac{3\sqrt3}{2},\quad \frac{AC}{2}=\frac32.$$ $\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ なので $OM$ は底面に垂直である。底面平面は $\sqrt3\,y+z=3\sqrt3$。底面円盤上の点 $Q=(x,y,z)$ は $$\displaystyle MQ^2=x^2+4\left(y-\frac94\right)^2\le\frac94$$ を満たすため $y_Q\ge3/2$。また $OM\perp MQ$ より $$\displaystyle OQ^2=OM^2+MQ^2\le\frac{27}{4}+\frac94=9.$$ したがって底面内で $\rho_Q=\sqrt{x^2+z^2}$ とおけば $$\rho_Q^2=OQ^2-y_Q^2\le9-y_Q^2\le3y_Q^2,$$ すなわち $\rho_Q\le\sqrt3\,y_Q$。

円錐内の点は $P=\lambda Q\ (0\le\lambda\le1)$ と表せるので、同じ不等式 $\rho_P\le\sqrt3\,y_P$ が成り立つ。$0\le t\le3/2$ では平面 $y=t$ の最大距離は $\sqrt3t$ 以下で、母線 $OC$ 上で等号となる。$3/2\le t\le3$ では $|P|\le3$ から $\rho_P\le\sqrt{9-t^2}$。底面円周は $y=3/2$ の点 $C$ から $y=3$ の点 $A$ まで連続に動くため、各 $t$ でこの上限を達成する点がある。

円錐の各水平断面は凸で、母線 $OA$ 上の点を含む。従って断面内には y 軸上の点から最大距離の点までの全ての距離があり、円錐を y 軸の周りに回転すると半径 $R_2(t)$ の円盤になる。以上から $$R_2(t)= \begin{cases} \sqrt3\,t &(0\le t\le3/2),\\ \sqrt{9-t^2}&(3/2\le t\le3), \end{cases} \quad S_2(t)=\pi R_2(t)^2.$$

(4) よって $$\displaystyle \begin{aligned} V_2&=\pi\int_0^{3/2}3t^2\,dt +\pi\int_{3/2}^3(9-t^2)\,dt\\ &=\frac{27\pi}{8}+\frac{45\pi}{8}=9\pi. \end{aligned}$$

(5) 差は $$V_1-V_2=9\pi(1-2\cos\theta).$$ $0<\theta<\pi/2$ で $\cos\theta$ は減少し、$\cos(\pi/3)=1/2$。従って $\theta<\pi/3$ なら $V_1<V_2$、$\theta=\pi/3$ なら $V_1=V_2$、$\theta>\pi/3$ なら $V_1>V_2$。 答え $$S_1(t)= \begin{cases}\pi t^2\tan^2\theta &(0\le t\le3\cos\theta),\\ \pi(9-t^2)&(3\cos\theta\le t\le3),\end{cases} \quad V_1=18\pi(1-\cos\theta).$$ $$S_2(t)= \begin{cases}3\pi t^2 &(0\le t\le3/2),\\ \pi(9-t^2)&(3/2\le t\le3),\end{cases} \quad V_2=9\pi.$$ 大小は $\theta=\pi/3$ を境に上記のとおり。