東邦大学 2015年数学第13問解答・解説

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1問題

東邦大学2015年度第13問

$O$ を原点とする空間において，3点 $P(1,-2,0),Q(0,-2,2),R(2,0,2)$ を通る平面を $\alpha$ とする。また，平面 $\alpha$ 上に，点 $P$ を中心とし，線分 $PR$ を半径とする円 $C$ がある。このとき，原点 $O$ と平面 $\alpha$ との距離は $\boxed{\text{サ}}$ であり，原点 $O$ と円 $C$ の周上の点との距離の最大値は $\boxed{\text{シ}}\sqrt{\boxed{\text{ス}}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

$\overrightarrow{PQ}=(-1,0,2)$ 、 $\overrightarrow{PR}=(1,2,2)$ の両方に垂直なベクトルは $(2,-2,1)$ である（内積がともに0）。よって平面の方程式は $2x-2y+z=6$ 。原点から平面への垂線の足を $H$ とすると、 $\overrightarrow{OH}$ は $(2,-2,1)$ の定数倍であり、平面の式に代入して $H=(4/3,-4/3,2/3)$ 、 $OH=2$ 。 $OP^2=5$ なので直角三角形 $OHP$ で $HP=\sqrt{5-4}=1$ 。円の半径は $PR=\sqrt{1+4+4}=3$ 。円上の点 $X$ について $OX^2=OH^2+HX^2$ であり、 $HX\le HP+PX=4$ 。 $H,P,X$ がこの順に一直線上にある点で等号が達成される。従って最大距離は $\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5$ 。空欄サ2、シ2、ス5。

この問題で使う考え方

内積による垂直条件
垂線の足
三平方の定理
三角不等式

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