東邦大学 2015年数学第4問解答・解説

このページには広告が含まれます。

1問題

東邦大学2015年度第4問

$n$ を自然数とする。関数 $f(x)$ を $\displaystyle f(x)=\lim\limits _{n\to\infty}\frac{a+x^{2}+x^{2n}-x^{2n+2}}{12+x^{2n}}$ と定めるとき， $f(x)$ が実数全体で連続となるような定数 $a$ の値は $\boxed{\text{ケコ}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$a=-1$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$|x|<1$ なら $x^{2n},x^{2n+2}\to0$ なので $\displaystyle f(x)=\frac{a+x^2}{12}$ 。 $|x|=1$ なら $x^{2n}=x^{2n+2}=1$ だから $\displaystyle f(x)=\frac{a+1}{13}$ 。 $|x|>1$ では分子分母を $x^{2n}$ で割り、 $f(x)=1-x^2$ 。 $x=1$ の外側極限は $0$ 、関数値は $(a+1)/13$ なので連続には $a=-1$ が必要。 $a=-1$ のとき内側極限も $(a+1)/12=0$ となり関数値と一致する。 $x=-1$ も同じ。その他の点では各式が多項式で連続だから、この値で実数全体において連続である。

この問題で使う考え方

絶対値による場合分け
最高次項で割る
接続点の左右極限

数学を1対1で教わるオンライン塾「数強塾」

数強塾は、中学生・高校生のための数学専門のオンライン個別指導塾です。プロ講師がマンツーマンで教え、大学受験の数学にも対応しています。入塾の前に、今の学習状況と目標を確かめる診断授業（体験・3,000円、税込）を受けられます。

「数強塾」オンライン数学克服塾〈プロ講師〉

東大生と1対1で学べるオンライン個別指導「トウコベ」

トウコベは、東大生を中心に難関大学の学生が講師を務める、完全マンツーマンのオンライン個別指導です。はじめに、オンラインの説明会・勉強相談（無料）をWebで予約でき、その後にお試し授業を受けられます。

トウコベ公式サイト

似た問題を、ほかの大学で

答えや解説の誤りに気づいたら、お問い合わせから教えてください。