東邦大学 2015年数学第1問解答・解説

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1問題

東邦大学2015年度第1問

放物線 $y=x^{2}+6x+5$ と直線 $y=2x+k$ が異なる2点 $A,B$ で交わり，線分 $AB$ の長さが $2\sqrt{2}$ であるとき，定数 $k$ の値は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$k=7/5$ 。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

交点の $x$ 座標は $x^2+6x+5=2x+k$ 、すなわち $x^2+4x+5-k=0$ の2根である。2根は $x=-2\pm\sqrt{k-1}$ （ $k>1$ ）だから、 $x$ 座標の差は $2\sqrt{k-1}$ 。2点は傾き2の直線上にあるので、線分 $AB$ の長さはこの差の $\sqrt{1+2^2}=\sqrt5$ 倍である。従って $2\sqrt{5(k-1)}=2\sqrt2$ 、よって $\displaystyle k-1=\frac25$ 、 $\displaystyle k=\frac75$ 。

この問題で使う考え方

二次方程式の解
距離公式

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