15東邦大学 2015年 数学 第15問解答・解説

$f(x)=x^3-4(k-1)x+k(k-2)^2$ とおく。まず $k\le1$ なら $$f'(x)=3x^2+4(1-k)\ge0$$ であり、$f$ は単調増加して実数解は1個なので、全ての解が実数となることはない。

$k>1$ とし、$\displaystyle \alpha=2\sqrt{\frac{k-1}{3}}>0$ とおくと、極大点は $-\alpha$、極小点は $\alpha$。$k(k-2)^2\ge0$ なので $$f(-\alpha)=2\alpha^3+k(k-2)^2>0.$$ 従って、全ての解が実数となる条件は極小値 $f(\alpha)\le0$、すなわち $$k(k-2)^2\le2\alpha^3.$$ 両辺は非負だから二乗して整理すると $$27k^2(k-2)^4\le256(k-1)^3,$$ $$256(k-1)^3-27k^2(k-2)^4=(4-k)(3k-4)(3k^2-4k+4)^2\ge0.$$

$$\displaystyle 3k^2-4k+4=3\left(k-\frac23\right)^2+\frac83>0$$ より、条件は $$\displaystyle \frac43\le k\le4.$$ 端点では重解を含むが、根は全て実数である。

原本の一つの大問に対し、これが回答値の範囲となる。

$k\le1$では三次関数は単調増加で実根が1つ。$k>1$では極大点 $-\alpha$、極小点 $\alpha$（$\displaystyle \alpha=2\sqrt{\frac{k-1}{3}}$）があり、極大値は正。三実根（重解を含む）となる条件は極小値が0以下。これを二乗して因数分解すると $$(4-k)(3k-4)(3k^2-4k+4)^2\ge0$$ で、最後の平方因子は常に正。よって $\displaystyle \frac43\le k\le4$。