2徳島大学 2014年 数学 第2問解答・解説

単元・方法・テーマ

(1),(2) 数学II「図形と方程式」：絶対値の定義により $x<0$、$x\ge0$ に分けて共有点を求める。テーマはパラメータを含む曲線の交点数。

(3) 数学II「積分」：上下の曲線を区間ごとに定め、定積分で囲まれた面積を求める。テーマは絶対値で式が変わる曲線と面積。

(1) 第3象限では $x<0$ なので $C_1$ は $y=-x^2$ である。共有点は $$-x^2=ax^2+x-a \quad\text{すなわち}\quad (a+1)x^2+x-a=0 \quad\text{すなわち}\quad (x+1)((a+1)x-a)=0.$$ 解は $x=-1$ または $\displaystyle x=\frac{a}{a+1}$ である。$0<a<1$ より $\displaystyle \frac{a}{a+1}>0$ だから、第3象限にあるのは $x=-1$ のみであり、$y=-(-1)^2=-1$。求める点は $(-1,-1)$。

(2) $x\ge0$ では $C_1$ は $y=x^2$ だから、 $$x^2=ax^2+x-a \quad\text{すなわち}\quad (1-a)x^2-x+a=0 \quad\text{すなわち}\quad (x-1)((1-a)x-a)=0.$$ 正の側の共有点の $x$ 座標は $1$ と $\displaystyle \frac{a}{1-a}$ であり、どちらも正である。これらは $\displaystyle a=\frac12$ のときに一致し、それ以外では異なる。負の側では (1) より共有点は常に $(-1,-1)$ の一つだけである。$x=0$ は $C_1$ 上で $y=0$、$C_2$ 上では $y=-a\ne0$ なので共有点ではない。したがって共有点がちょうど2個となるのは $$\displaystyle \frac{a}{1-a}=1,\qquad\text{すなわち}\qquad a=\frac12$$ のときである。

(3) $\displaystyle a=\frac12$ のとき、$C_2$ は $\displaystyle y=\frac12x^2+x-\frac12$ である。共有点の $x$ 座標は $-1$ と $1$ であり、この区間では $C_1$ が $C_2$ 以上である。実際、 $$\displaystyle C_1-C_2= \begin{cases} \frac12-x-\frac32x^2=\frac12(x+1)(1-3x),&-1\le x\le0,\\[2pt] \frac12(x-1)^2,&0\le x\le1. \end{cases}$$ 従って囲まれた部分の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S &=\int_{-1}^{0}\left(\frac12-x-\frac32x^2\right)\,dx +\int_{0}^{1}\frac12(x-1)^2\,dx\\ &=\frac12+\frac16=\frac23. \end{aligned}$$