4徳島大学 2014年 数学 第4問解答・解説

(1) 初項と公差がともに5pだから a_n=5pn。よって Σ_{n=1}^p a_n=5p^2(p+1)/2、a_1+a_p=5p(p+1)。条件式から 5Σb_n=Σa_n−a_1−a_p=5p(p+1)(p−2)/2、すなわち Σb_n=p(p+1)(p−2)/2。一方 b_n=b_1+(n−1)p なので Σb_n=p{2b_1+p(p−1)}/2。両者を等置して 2b_1+p(p−1)=(p+1)(p−2)=p(p−1)−2 より b_1=−1。したがって b_n=p(n−1)−1。

(2) p=2 なら a_n/b_n=10n/(2n−3)。n=1では値が−10で自然数ではない。n≧2 とし d=2n−3>0 とおく。10n=5(2n−3)+15=5d+15 だから、10n/d が整数となる条件は d が15を割り切ること。dは正の奇数なので d=1,3,5,15。n=(d+3)/2 から n=2,3,4,9 である。それぞれの比は20,10,8,6となり、すべて自然数。

(3) p≧3 とする。n=1では b_1=−1 なので比は負。n≧2 では d=p(n−1)−1>0 とおくと pn=d+p+1 であり、a_n/b_n=5pn/d=5+5(p+1)/d。したがって比が自然数となるための必要十分条件は d が5(p+1)を割り切ること。t=5(p+1)/d と置けば t は正整数である。d≧p−1 より t≦5(p+1)/(p−1)=5+10/(p−1)≦10 だから t=1,…,10。さらに t[p(n−1)−1]=5(p+1) を整理すると p{t(n−1)−5}=t+5。よって p は t+5 の素因数であり、h=(t+5)/p と置けば n−1=(5+h)/t である。各 t=1,…,10 について p≧3 の素数候補と n−1 を調べると、t=1 は (p,h,n−1)=(3,2,7)、t=2 は (7,1,3)、t=3 は候補なし、t=4 は (3,3,2)、t=5 は (5,2,7/5)で不適、t=6 は (11,1,1)、t=7 は (3,4,9/7)で不適、t=8 は (13,1,6/8)で不適、t=9 は (7,2,7/9)で不適、t=10 は p=3で(3,5,1)、p=5で(5,3,4/5)となり後者は不適。従って (p,n)=(3,8),(7,4),(3,3),(11,2),(3,2)。各組で a_n/b_n は順に6,7,9,11,15で、すべて自然数。並べ替えると答えは (3,2),(3,3),(3,8),(7,4),(11,2)。