3東京慈恵会医科大学 2016年 数学 第3問解答・解説

(1) 任意の整数 $k\ge0$ に対して $$\displaystyle x=2k+1,\qquad y=\frac{a(2k+1)-1}{2}=ak+\frac{a-1}{2}$$ とおく。$a$ は3以上の奇数なので $y$ は正の整数であり、 $$\displaystyle ax-2y=a(2k+1)-2\left(ak+\frac{a-1}{2}\right)=1.$$ したがってこれらは条件を満たす自然数の組である。異なる $k$ に対し $x=2k+1$ は異なるので、組は無数に存在する。

(2) 各組について方程式を $x_n$ で割ると $$\displaystyle \frac{y_n}{x_n}=\frac a2-\frac{1}{2x_n}.$$ $x_1,\ldots,x_n$ は相異なる正整数である。これらを小さい順に $u_1<\cdots<u_n$ と並べれば $u_j\ge j$ だから $$\displaystyle 0<\sum\limits _{k=1}^n\frac1{x_k}=\sum\limits _{j=1}^n\frac1{u_j}\le\sum\limits _{j=1}^n\frac1j.$$ さらに $j\ge2$ では $\displaystyle 1/j\le\int_{j-1}^{j}\frac{dx}{x}$ であるため $$\displaystyle \sum\limits _{j=1}^n\frac1j\le1+\log n.$$ よって $$\displaystyle 0\le\frac1{2n}\sum\limits _{k=1}^n\frac1{x_k}\le\frac{1+\log n}{2n}\longrightarrow0,$$ ここで問題文の $\log n/n\to0$ を用いた。したがって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac1n\sum\limits _{k=1}^n\frac{y_k}{x_k} =\lim\limits _{n\to\infty}\left(\frac a2-\frac1{2n}\sum\limits _{k=1}^n\frac1{x_k}\right)=\frac a2.$$