4東京慈恵会医科大学 2016年 数学 第4問解答・解説

辺の長さを $s$ とし、$A$ を原点として $$\vec{AB}=\mathbf b,\qquad \vec{AC}=\mathbf c,\qquad \vec{AD}=\mathbf d$$ とおく。各辺の長さは $s$ であり、例えば面 $ABC$ は正三角形だから $$\displaystyle \mathbf b\cdot\mathbf c=\frac{|\mathbf b|^2+|\mathbf c|^2-|\mathbf b-\mathbf c|^2}{2}=\frac{s^2}{2}.$$ 同様に $\mathbf b\cdot\mathbf d=\mathbf c\cdot\mathbf d=s^2/2$、また $|\mathbf b|^2=|\mathbf c|^2=|\mathbf d|^2=s^2$ である。

点 $P$ と重心 $G$ の位置ベクトルは $$\displaystyle \vec{AP}=\frac18\mathbf b+\frac14\mathbf d,\qquad \vec{AG}=\frac13\mathbf c+\frac13\mathbf d.$$ 直線 $GP$ 上の点を $P+\lambda(G-P)$ と表す。$\mathbf d$ の係数は $(1-\lambda)/4+\lambda/3$ であり、平面 $ABC$ 上ではこの係数が0だから $\lambda=-3$。従って $$\displaystyle \vec{AQ}=4\vec{AP}-3\vec{AG}=\frac12\mathbf b-\mathbf c.$$

$R$ は線分 $AB$ 上にあるので $\vec{AR}=t\mathbf b$（$0\le t\le1$）とおく。このとき $t=AR/AB$ である。$PQ$ が直角三角形 $PQR$ の斜辺であるため、直角は $R$ にあり、$\vec{RP}\cdot\vec{RQ}=0$。ここで $$\displaystyle \vec{RP}=\left(\frac18-t\right)\mathbf b+\frac14\mathbf d,qquad \vec{RQ}=\left(\frac12-t\right)\mathbf b-\mathbf c.$$ 以上の内積を使うと $$\displaystyle \begin{aligned} 0&=\frac{\vec{RP}\cdot\vec{RQ}}{s^2}\\ &=\left(\frac18-t\right)\left(\frac12-t\right)-\frac12\left(\frac18-t\right) +\frac14\left\{\frac12\left(\frac12-t\right)-\frac12\right\}\\ &=t^2-\frac t4-\frac1{16}. \end{aligned}$$ 従って $16t^2-4t-1=0$ より $$\displaystyle t=\frac{1\pm\sqrt5}{8}.$$ $0\le t\le1$ を満たすのは正の解だけなので $$\displaystyle \frac{AR}{AB}=t=\frac{1+\sqrt5}{8}.$$