4獨協医科大学 2021年 1日目 数学 第4問解答・解説

(1) $\mathbf a=\overrightarrow{OA},\ \mathbf b=\overrightarrow{OB},\ \mathbf c=\overrightarrow{OC}$と置く。$\mathbf a\perp\mathbf b,\mathbf c$より $$|\mathbf a|^2=|\overrightarrow{AB}|^2-|\mathbf b|^2=(3\sqrt7)^2-6^2=27,$$ したがって$OA=3\sqrt3$。また $$|\overrightarrow{BC}|^2=|\mathbf b-\mathbf c|^2=|\mathbf b|^2+|\mathbf c|^2-2\mathbf b\cdot\mathbf c$$ から$28=36+16-2\mathbf b\cdot\mathbf c$、ゆえに$\overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{OC}=12$。三角形$OBC$について$\cos\angle BOC=12/(6\cdot4)=1/2$なので$\sin\angle BOC=\sqrt3/2$、 $$\displaystyle S=\frac12\cdot6\cdot4\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3.$$ $OA$は平面$OBC$に垂直だから、四面体の高さは$OA=3\sqrt3$。よって $$\displaystyle V=\frac13 S\cdot OA=\frac13\cdot6\sqrt3\cdot3\sqrt3=18.$$ さらに$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}= -\frac59\mathbf a+\frac29\mathbf b+\frac13\mathbf c$。一方$\overrightarrow{AB}=-\mathbf a+\mathbf b$、$\overrightarrow{AC}=-\mathbf a+\mathbf c$なので $$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\frac29\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AC}.$$

(2) 交点を$X$とし、直線上の表示を$\overrightarrow{OX}=\lambda\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\mu(\overrightarrow{OQ}-\overrightarrow{OA})$と置く。$\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$の係数比較から $$\displaystyle \frac{4\lambda}{9}=1-\mu,\qquad \frac{2\lambda}{9}=\mu s,\qquad \frac{\lambda}{3}=\mu t.$$ 最後の二式を割ると$s/t=2/3$。$s,t>0$より$s=2k,t=3k$（$k>0$）とおける。内積を使って $$|\overrightarrow{OQ}|^2=36s^2+16t^2+24st=432k^2.$$ $|\overrightarrow{OQ}|=3\sqrt3$だから$432k^2=27$、$k=1/4$。従って$s=1/2,t=3/4$。

(3) $\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$に関する座標を用いると$D=(2/5,0,0),\ E=(0,2/3,0),\ Q=(0,1/2,3/4)$。これらを通る平面は $$15x+9y+2z=6$$ であり、3点を代入するといずれも左辺が6となる。$P=(4/9,2/9,1/3)$だから$L=\lambda P$を代入して$\lambda(15\cdot4/9+9\cdot2/9+2\cdot1/3)=6$、すなわち$\lambda(28/3)=6$。よって$\lambda=9/14$、$\displaystyle \overrightarrow{OL}=\frac9{14}\overrightarrow{OP}$。 $OLAB$と$OABC$は頂点$O,A,B$を共有する。$\overrightarrow{OL}=\lambda\overrightarrow{OP}$の$\mathbf c$係数は$\lambda/3$であるため、共通面$OAB$に対する高さの比、従って体積比は$\lambda/3=3/14$。したがって $$\displaystyle V_{OLAB}=\frac3{14}V_{OABC}=\frac3{14}\cdot18=\frac{27}{7}.$$ 最後に係数は正で、体積も正となり、与えられた正の内分比と整合する。