3京都府立医科大学 2018年 数学 第3問解答・解説

(1)$\quad BC\perp$面 $ACD$ より $BC\perp AC$ であり，また $AD\perp$面 $ABC$ である。そこで $\displaystyle A=(0,0,0),\ C=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},0,0\right),\ B=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac12,0\right),\ D=(0,0,1)$ とおく。このとき $$\displaystyle BD^2=\left(\frac{\sqrt{3}}2\right)^2+\left(\frac12\right)^2+1^2=2$$ より $BD=\sqrt{2}$ である。

(2)$\quad \triangle ABC$ は $C$ を直角とする三角形で， $$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=1.$$ 点 $C$ から $AB$ への垂線の長さを $h$ とすると，$\triangle ABC$ の面積を二通りに表して $$\displaystyle \frac12 AC\cdot BC=\frac12 AB\cdot h$$ だから $\displaystyle h=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}4$ である。

(3)$\quad \alpha\parallel$面 $ABD$ のとき，$C$ を $\alpha$ に垂直に射影した点は，$AB$ 上の垂線の足 $H$ に対応する。したがって影は三角形 $ABD$ であり， $$\displaystyle S=\frac12 AB\cdot AD=\frac12.$$

(4)$\quad AB$ を回転軸とする。$H$ を $C$ から $AB$ に下ろした垂線の足とすると，直角三角形の性質から $$\displaystyle AH=\frac{AC^2}{AB}=\frac34,\qquad CH=\frac{\sqrt{3}}4.$$ また $AD\perp AB$ で $AD=1$ だから，$D$ から軸 $AB$ への垂直距離は $1$ である。$CH$ と $AD$ は互いに垂直な，軸 $AB$ に垂直なベクトルである。回転角を $\theta$ とし，影の平面内で $AB$ に垂直な座標を適切にとると，投影された $A,B,C,D$ の座標はそれぞれ $$\displaystyle A=(0,0),\quad B=(1,0),\quad C=\left(\frac34,\frac{\sqrt3}{4}\cos\theta\right),\quad D=(0,\sin\theta)$$ と表せる。ここで角度の原点は一回転の全ての配置を表すように選んだ。

$\displaystyle p=\frac{\sqrt3}{4}\cos\theta,\ q=\sin\theta$ とする。影は上の四点の凸包である。$p,q$ が異符号なら，凸包の頂点を順にたどって面積を求めると $\displaystyle S=\frac12(|p|+|q|)$ となる。$p,q$ が同符号なら，$C$ が三角形 $ABD$ の内部に入る場合と外に出る場合があり，その面積は $\displaystyle S=\frac12\max\left(|q|,|p|+\frac34|q|\right)$ である。

$\displaystyle x=|\cos\theta|,\ y=|\sin\theta|,\ h=\frac{\sqrt3}{4}$ とおくと $x^2+y^2=1$ である。同符号の場合は $$\displaystyle y\le 1,\qquad hx+\frac34y\le\sqrt{h^2+\left(\frac34\right)^2}=\frac{\sqrt3}{2}<1$$ より $\displaystyle S\le\frac12$ である。異符号の場合は $$\displaystyle 2S=hx+y\le\sqrt{h^2+1}\sqrt{x^2+y^2}=\frac{\sqrt{19}}4,$$ 等号は $(x,y)$ が $(h,1)$ に比例し，$p,q$ が異符号のときに実現する。$\displaystyle \frac{\sqrt{19}}8>\frac12$ なので，最大値は $\displaystyle \frac{\sqrt{19}}8$ である。

一方，異符号の場合は $y\ge hy$ かつ $x+y\ge\sqrt{x^2+y^2}=1$ より $hx+y\ge h$ である。同符号の場合も $$\displaystyle hx+\frac34y=h(x+\sqrt3 y)\ge h(x+y)\ge h$$ だから，いずれの場合も $\displaystyle S\ge\frac h2=\frac{\sqrt3}{8}$ である。$y=0,\ x=1$ とすればこの値をとる。よって最小値は $\displaystyle \frac{\sqrt3}{8}$ である。