2京都府立医科大学 2018年 数学 第2問解答・解説

駒の移動では、奇数の目が出た回数だけ $x$ 座標が増え、偶数の目が出た回数だけ $y$ 座標が増える。したがって、$X(p)=N(p,0)$、$Y(q)=N(0,q)$ とおくと、点 $(p,q)$ に到達する最小回数は $$N(p,q)=X(p)+Y(q)$$ である。実際、どの到達経路でも $x$ の増分を作る回数と $y$ の増分を作る回数の和が総回数であり、それぞれの最小回数を実現する経路を続けて行えばよい。

まず $X(p)$ を考える。$p>0$ とし、奇数の目を $m$ 回出したとする。各増分は $1,3,5$ のいずれかなので、$0,1,2$ のいずれかである $u_i$ を用いて $$\displaystyle p=\sum\limits _{i=1}^{m}(2u_i+1)=m+2\sum\limits _{i=1}^{m}u_i$$ と書ける。このため、$m\le p\le5m$ かつ $m\equiv p\pmod 2$ が必要である。逆にこれらが成り立てば、$s=(p-m)/2$ は $0\le s\le2m$ の整数であり、$s$ は $m$ 個の $0,1,2$ の和にできる（$2$ を可能な限り並べ、奇数ならさらに $1$ を一つ並べればよい）。したがって、その $m$ 回で $p$ に到達できる。

よって $X(p)$ は、$m\ge p/5$ と $m\equiv p\pmod 2$ を満たす最小の整数である。この候補は $m\le\lceil p/5\rceil+1\le p$ を満たす（$p=1$ では候補は $1$、$p\ge2$ では最後の不等式が成り立つ）ので、上の到達条件も満たす。したがって $$\displaystyle \left\lfloor\frac p5\right\rfloor\le X(p)\le\left\lceil\frac p5\right\rceil+1\le\left\lfloor\frac p5\right\rfloor+2.$$ $p=0$ のときは $X(0)=0$ で、同じ不等式は成り立つ。

次に $Y(q)$ を考える。$q>0$ とし、偶数の目を $m$ 回出すと、各増分は $1,2,3$ である。従って到達可能な和は $m$ 以上 $3m$ 以下である。また、その間のすべての整数が到達可能である。実際、和を $m+s$ と書けば $0\le s\le2m$ であり、$s$ は $m$ 個の $0,1,2$ の和にできるので、各増分を $1+u_i$ とすればよい。必要回数には $q\le3m$ が必要なので $m\ge\lceil q/3\rceil$ である。一方、$q\ge1$ なら $m=\lceil q/3\rceil\le q$ であり、したがって $m\le q\le3m$ だから、この回数で到達できる。よって $Y(q)=\lceil q/3\rceil$。$q=0$ では $Y(0)=0$ である。よって $$\displaystyle \left\lfloor\frac q3\right\rfloor\le Y(q)\le\left\lfloor\frac q3\right\rfloor+1.$$ 以上より (1) が示された。

(2) では $N(an,bn)=X(an)+Y(bn)$ を用いる。(1) と床関数の性質から $$\displaystyle \frac{X(an)}n\longrightarrow\frac a5,\qquad \frac{Y(bn)}n\longrightarrow\frac b3$$ である。第一の極限では $0\le X(an)-an/5\le2$、第二では $0\le Y(bn)-bn/3\le1$ であるから、それぞれ $n$ で割った差は $0$ に近づく。したがって $a+b>0$ を用いて $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\frac{N(an,bn)}{(a+b)n} =\frac{a/5+b/3}{a+b} =\frac{3a+5b}{15(a+b)}.$$

(3) この式から $$\displaystyle R(a,b)-\frac15=\frac{2b}{15(a+b)}\ge0, \qquad \frac13-R(a,b)=\frac{2a}{15(a+b)}\ge0.$$ 等号条件もそれぞれ $b=0$、$a=0$ である。$a,b$ は同時に $0$ ではないので、最小値 $1/5$ は $b=0,\ a\ge1$ のとき、最大値 $1/3$ は $a=0,\ b\ge1$ のときに実際に達成される。