1京都府立医科大学 2018年 数学 第1問解答・解説

（1）直線 $L$ が領域 $D$ に含まれることは、すべての実数 $x$ に対して $ax+b\le e^x$ が成り立つことと同値である。 $a<0$ ならば $x\to-\infty$ のとき $ax+b\to+\infty$ である一方、$e^x\to0$ だから、この不等式は成り立たない。 $a=0$ のときは $b\le e^x$ がすべての実数 $x$ で成り立つ条件を考える。$e^x$ の下限は $0$ であるから、必要十分条件は $b\le0$ である。 $a>0$ のとき、$g(x)=e^x-ax-b$ とおくと、$g'(x)=e^x-a$ である。指数関数の増減より、$g$ は $x=\log a$ まで減少し、その後増加するので、最小値は $g(\log a)=a-a\log a-b$ である。したがって、すべての $x$ で $g(x)\ge0$ となる条件は $b\le a(1-\log a)$ である。ゆえに $$E\text{ に属する条件は}\quad (a=0\ \text{かつ}\ b\le0)\quad\text{または}\quad(a>0\ \text{かつ}\ b\le a(1-\log a)).$$ $ab$ 平面では、境界は $a=0$ 上の半直線 $b\le0$ と、$a>0$ における曲線 $b=a(1-\log a)$ である。この曲線は $(0,0)$ に近づき、$(1,1)$ で最大となり、$(e,0)$ を通る。求める領域はこの境界を含み、その下側（ただし $a\ge0$）である。

（2）$t>0$ なので、共通部分が存在するには $a\ge t$ かつ $a(1-\log a)\ge0$ が必要である。$a>0$ では後者は $a\le e$ と同値である。したがって $0<t<e$ のとき、$t\le a\le e$ を満たす各 $a$ に対する $b$ の範囲は $0\le b\le a(1-\log a)$ であり、$t\ge e$ のとき面積は $0$ である。よって $0<t<e$ では $$\displaystyle S(t)=\int_t^e a(1-\log a)\,da.$$ 部分積分により $\displaystyle \int a\log a\,da=\frac{a^2}{2}\log a-\frac{a^2}{4}$ だから、 $$\displaystyle S(t)=\left[\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{2}\log a\right]_t^e =\frac{e^2}{4}-\frac{3t^2}{4}+\frac{t^2}{2}\log t.$$ ここで $t^2\to0$ であり、問題文で許された極限を $x=t^2$ に適用すれば $\displaystyle t^2\log t=\frac12(t^2\log t^2)\to0$ である。したがって $$\displaystyle\lim\limits _{t\to+0}S(t)=\frac{e^2}{4}.$$