IV慶應義塾大学 2013年 数学 第IV問解答・解説

第IV問（提供PDFで確認できる本文に対する解答） $c>0$、$s=f(t)$、$0<t<c$ とする。$r=\sqrt{c^2-t^2}$ とおけば $$\displaystyle f'(t)=-\frac{r}{t}<0,\qquad f''(t)=\frac{c^2}{r\,t^2}>0.$$ したがって曲線は第1象限で $(0,c)$ から右下がりに進み、$x\to+\infty$ で $y\to0$ となる。$dy/dx=-t/r$ だから $(0,c)$ で接線は鉛直、無限遠で接線は水平となる。さらに $d^2y/dx^2=c^2t/r^4>0$ で、グラフは下に凸である。

(2) $dx/dy=f'(t)=-r/t$ より、接線の傾きは $dy/dx=-t/r$。従って $$\displaystyle \ell_1:\ y-t=-\frac{t}{r}(x-s).$$ $x$ 軸との交点は $A=(s+r,0)$ なので $$PA=\sqrt{r^2+t^2}=\boxed{c}.$$

(3) 問題の図形を $x$ 軸のまわりに回すと、半径 $y$、長さ $f(h)$ の殻 ($0<y<h$) と、長さ $f(y)$ の殻 ($h<y<c$) ができる。よって $$\displaystyle V(h)=\pi h^2f(h)+2\pi\int_h^c yf(y)\,dy.$$ ここで $h^2f(h)\to0$ であり、 $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^c yf(y)\,dy &=c^3\int_0^1u\left( \log\frac{1+\sqrt{1-u^2}}{u}-\sqrt{1-u^2} \right)du\\ &=c^3\left(\frac12-\frac13\right)=\frac{c^3}{6}. \end{aligned}$$ （第1積分は部分積分、第2積分は $v=1-u^2$ の置換。）したがって $$\displaystyle \lim\limits _{h\to+0}V(h)=\boxed{\frac{\pi c^3}{3}}.$$

(4) 法線の傾きと切片は $$\displaystyle \alpha=\frac{r}{t},\qquad \beta=t-\alpha s.$$ 微分すると $$\displaystyle \frac{d\alpha}{dt}=-\frac{c^2}{t^2r}.$$ また $s'= -\alpha$、$1+\alpha^2=c^2/t^2=-r\alpha'$ より $$\displaystyle \beta'=1-\alpha's-\alpha s' =\alpha'(-s-r) =\alpha'\left(-c\log\frac{c+r}{t}\right).$$ 従って $g(t)=\alpha x+\beta$ の導関数は $$\displaystyle g'(t)=\alpha'\left(x-c\log\frac{c+r}{t}\right).$$ $\alpha'<0$ であり、$\log((c+r)/t)$ は $t$ とともに減少する。唯一の極大点は $$\displaystyle x=c\log\frac{c+r}{t} \quad\text{すなわち}\quad t=\frac{2c}{e^{x/c}+e^{-x/c}}.$$ ここで $u=x/c$ とすると $t=c\,\mathrm{sech}\,u$、$r=c\tanh u$、$\alpha=\sinh u$、さらに $s=cu-c\tanh u$ である。ゆえに $$\displaystyle g_{\max}=t+\alpha(x-s) =c\,\mathrm{sech}\,u+c\sinh u\,\tanh u =\boxed{c\cosh(x/c)}.$$