慶應義塾大学 2013年数学第II問解答・解説

1問題

慶應義塾大学2013年度第II問

以下の文章の空欄に適切な数または式を入れて文章を完成させなさい。

2つの袋 $A,B$ と赤玉，白玉それぞれ3個ずつが用意されている。各々の袋の中に玉が3個ずつ入っている状態に対して次の操作を考える。

操作：各々の袋から玉を同時に無作為に1個ずつ取り出した後，袋 $A$ から取り出した玉を袋 $B$ の中に，袋 $B$ から取り出した玉を袋 $A$ の中に入れる。

いま，袋 $A$ の中に赤玉2個と白玉1個が，袋 $B$ の中に赤玉1個と白玉2個が入っている状態から始め，上記の操作を繰り返し行う。また $n$ を自然数とし， $n$ 回目の操作を終えたときに袋 $A$ の中に赤玉が3個入っている確率を $a_n$ ，2個だけ入っている確率を $b_n$ ，1個だけ入っている確率を $c_n$ とする。

(1) $a_1=\boxed{\text{(あ)}},\quad b_1=\boxed{\text{(い)}},\quad c_1=\boxed{\text{(う)} }$ である。

(2) $p_n=b_n+c_n$ と定義すると $p_n$ と $p_{n+1}$ の間には $p_{n+1}=\boxed{\text{(え)}}\times p_n+\boxed{\text{(お)}}$ という関係がある。また $p_n$ を $n$ の式で表すと $p_n=\boxed{\text{(か)}}$ である。

(3) $n$ 回目の操作を終えたときに袋 $A$ の中に入っている赤玉の個数の期待値を $E_n$ とする。 $E_n$ を $n$ の式で表すと $E_n=\boxed{\text{(き)}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1)
$a1=1/9, b1=4/9, c1=4/9$
(2)
$\displaystyle p_{n+1}=1-\frac19p_n$ $\displaystyle ,\qquad p_n=\frac9{10}-\frac1{90}\left(-\frac19\right)^{n-1}.$
(3)
$E_n=3/2+1/(2·3^n)$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

Aの赤玉の個数を状態とする。初回はAが白を引き（確率 $1/3$ ）、Bが赤を引く（確率 $1/3$ ）と赤玉3個となるから $a_1=1/9$ 。赤個数が2個のままなのは、同色を交換する場合で、その確率は $(2/3)(1/3)+(1/3)(2/3)=4/9$ 。残りは赤1個となるので $b_1=c_1=4/9$ 。

$p_n=b_n+c_n$ は、n回後にAの赤玉が1個または2個である確率。n回後の個数が0個または3個なら、次の交換後は必ず1個または2個となる。個数が1個のとき、次も1個または2個となる確率は $8/9$ （0個へ移る確率だけが $1/9$ ）。個数が2個のときも同じく $8/9$ （3個へ移る確率だけが $1/9$ ）。従って $\displaystyle p_{n+1}=(1-p_n)+\frac89p_n=1-\frac19p_n.$ $p_1=8/9$ 。この一次漸化式の定数解は $9/10$ だから、差をとれば $p_{n+1}-9/10=-(p_n-9/10)/9$ 。よって $\displaystyle p_n=\frac9{10}-\frac1{90}\left(-\frac19\right)^{n-1}.$

赤玉がAにr個あるとき、1回の交換後の赤玉数の期待値は、Aから出る赤玉の期待数 $r/3$ を引き、Bから入る赤玉の期待数 $(3-r)/3$ を足した $r-r/3+(3-r)/3=1+r/3$ 。従って $E_{n+1}=1+E_n/3$ 、初期値 $E_0=2$ 。定数解は $3/2$ なので $\displaystyle E_n=\frac32+\frac1{2\cdot3^n}.$

この問題で使う考え方

推移確率
漸化式
期待値の線形性

1問題

2答え

3解答

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