5大阪大学 2014年 数学 第5問解答・解説

【追加仮定（原文に明記なし）】さいころは各目が等確率で出る公平な六面体さいころとし、繰り返しの試行は互いに独立であると仮定します。

(1) 積が5で割った余り$0$となるのは、少なくとも1回さいころの目が$5$となったときである。したがって、余りが0でないのは$n$回とも5以外が出る場合であり、$$\displaystyle p_n+q_n=\left(\frac56\right)^n.$$

(2) 余りが$1$となるには、n回目までの積の余りが1なら次の目が1または6、余りが2なら次の目が3、余りが3なら次の目が2、余りが4なら次の目が4であればよい。よって $$\displaystyle p_{n+1}=\frac26p_n+\frac16q_n=\frac13p_n+\frac16\left[\left(\frac56\right)^n-p_n\right]=\frac16\left(p_n+\left(\frac56\right)^n\right).$$

(3) $\displaystyle p_1=\frac26=\frac13$より$\displaystyle r_1=\frac25$である。(2)から $$\displaystyle r_{n+1}=\left(\frac65\right)^{n+1}p_{n+1}=\frac15r_n+\frac15.$$ したがって $$\displaystyle r_{n+1}-\frac14=\frac15\left(r_n-\frac14\right),\qquad r_1-\frac14=\frac3{20}.$$ ゆえに $$\displaystyle r_n-\frac14=\frac3{20}\left(\frac15\right)^{n-1}=\frac3{4\cdot5^n},\qquad r_n=\frac14+\frac3{4\cdot5^n}.$$ これを$\displaystyle p_n=\left(\frac56\right)^nr_n$に代入すると $$\displaystyle p_n=\frac14\left(\frac56\right)^n+\frac3{4\cdot6^n}\quad(n\ge1).$$