II慶應義塾大学 2014年 数学 第II問解答・解説

(1) $n=0$ 回後に点 $A$ が $1$ にある確率を $p_0=1$ とする。点が $1$ に戻ることはないので、$\displaystyle p_{n+1}=\dfrac34p_n$、したがって $$\displaystyle p_n=\left(\frac34\right)^n.$$ また、点が $3$ にある確率を $t_n$ とおくと $p_n+q_n+t_n=1$ である。$n+1$ 回後に点が $2$ にあるのは、$n$ 回後の位置が $1,2,3$ のそれぞれから $2$ へ移る場合なので $$\displaystyle q_{n+1}=\frac14p_n+\frac34q_n+\frac14t_n=\frac14(1-q_n)+\frac34q_n=\frac14+\frac12q_n.$$ $q_0=0$ だから、この漸化式を解いて $$\displaystyle q_n=\frac12\left(1-\left(\frac12\right)^n\right)=\frac12-\frac{1}{2^{n+1}}.$$

(2) 点 $B$ が $2$ にある確率を $q'_n$、$3$ にある確率を $1-q'_n$ とすると、 $$\displaystyle q'_{n+1}=\frac34q'_n+\frac14(1-q'_n)=\frac14+\frac12q'_n,\qquad q'_0=1.$$ よって $$\displaystyle q'_n=\frac12+\frac{1}{2^{n+1}}.$$

(3-1) $C$ が初めて $1$ を離れるのが $j$ 回目である確率は $\displaystyle \left(\dfrac34\right)^{j-1}\dfrac14$ である。その時点で $C$ は $2$ にあり、以後 $m=n-j$ 回の操作を受ける。$2,3$ の間だけを動く点が $2$ にある確率は、初期位置が $2$ のとき $g_0=1$、$\displaystyle g_{m+1}=\dfrac14+\dfrac12g_m$ を満たすから、 $$\displaystyle g_m=\frac12+\frac{1}{2^{m+1}}.$$ 一方、点 $D$ は $O$ が加わってからの $m$ 回だけ操作を受け、初期位置 $1$ から $2$ にある確率は $\displaystyle q_m=\dfrac12-\dfrac{1}{2^{m+1}}$ である。二人の操作は独立なので $$\displaystyle r_n=\frac14\sum\limits _{m=0}^{n-1}\left(\frac34\right)^{n-m-1}g_mq_m=\frac14\sum\limits _{m=0}^{n-1}\left(\frac34\right)^{n-m-1}\left(\frac14-4^{-(m+1)}\right).$$ ここで $$\displaystyle \begin{aligned}r_n&=\frac1{16}\sum\limits _{u=0}^{n-1}\left(\frac34\right)^u-\frac14\sum\limits _{m=0}^{n-1}\left(\frac34\right)^{n-m-1}4^{-(m+1)}\\&=\frac14\left\{1-\left(\frac34\right)^n\right\}-\frac{3^n-1}{2\cdot4^{n+1}}\\&=\frac14-\frac12\left\{\left(\frac34\right)^{n+1}-\left(\frac14\right)^{n+1}\right\}.\end{aligned}$$ したがって $\displaystyle r_2=\dfrac14-\dfrac12\left(\dfrac{27-1}{64}\right)=\dfrac{3}{64}$ である。

(3-2) $C$ が $n$ 回とも $1$ にとどまる確率は $\displaystyle \left(\dfrac34\right)^n$ であり、この場合 $D$ は操作されず、二点とも $2$ にはない。初めて $1$ を離れる時刻が $j$ 回目の場合は、残る $m=n-j$ 回について、$C$ が $2$ にいない確率は $1-g_m=q_m$、$D$ が $2$ にいない確率は $1-q_m=g_m$ である。これらは独立なので、その場合の「ともに $2$ にいない」確率の積は $g_mq_m$ となり、(3-1) の $r_n$ の各項と一致する。よって $$\displaystyle s_n=\left(\frac34\right)^n+r_n,\qquad s_n-r_n=\left(\frac34\right)^n.$$ また $r_1=0$ より $\displaystyle s_1=\dfrac34$ である。