III慶應義塾大学 2014年 数学 第III問解答・解説

曲線 $C$ 上の点を $\displaystyle Q(t)=\left(t,\frac{t^2+1}{2}\right)$ とおく。$C$ の導関数は $y'=x$ だから、$Q(t)$ における接線は $$\displaystyle y=tx-\frac{t^2}{2}+\frac12$$ である。これが $P(X,Y)$ を通る条件は $$t^2-2Xt+2Y-1=0.$$ $d=\sqrt{X^2-2Y+1}$ とおくと、仮定 $\displaystyle Y<\frac12X^2+\frac12$ より $d>0$ であり、この二次方程式の二つの解は $$t_1=X-d,\qquad t_2=X+d$$ となる。したがって接線の傾きは $m_1=t_1=X-d$、$m_2=t_2=X+d$ である。

次に、$Q(t)$ における法線は接線の方向ベクトル $(1,t)$ に垂直であるから、 $$\displaystyle (x-t)+t\left(y-\frac{t^2+1}{2}\right)=0, \qquad\text{すなわち}\qquad x+ty=\frac{3t+t^3}{2}$$ と表せる。$t=t_1,t_2$ の二式を引くと、交点 $R=(x_R,y_R)$ の $y$ 座標は $$\displaystyle y_R=\frac{3+t_1^2+t_1t_2+t_2^2}{2}$$ であり、一方の式へ代入すると $$\displaystyle x_R=-\frac{t_1t_2(t_1+t_2)}{2}$$ を得る。二次方程式の解と係数の関係から $t_1+t_2=2X$、$t_1t_2=2Y-1$ なので、 $$R=\left(X(1-2Y),\ 2+2X^2-Y\right)$$ である。

角 $\delta$ を、方向ベクトル $(1,t_1),(1,t_2)$ のなす角とする。$t_1<t_2$ だから $0<\delta<\pi$ である。また $$Q(t_i)-P=(t_i-X)(1,t_i)$$ より、$Q_1-P=-d(1,t_1)$、$Q_2-P=d(1,t_2)$ となる。このため $\angle Q_1PQ_2=\pi-\delta$、すなわち $\alpha=\pi-\delta$ である。三角関数の加法定理を用いると $$\displaystyle \cot\delta=\frac{1+t_1t_2}{t_2-t_1} =\frac{1+(2Y-1)}{2d}=\frac{Y}{d}.$$ 他方、$\delta=\pi-\alpha$ なので $\cot\delta=-\cot\alpha$ であり、角度条件は $$Y=-d\cot\alpha$$ と同値である。

$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{2}$ のときはこの式から $Y=0$ となる。逆に $Y=0$ なら $d=\sqrt{X^2+1}>0$ で $\cot\delta=0$ より $\displaystyle \delta=\frac{\pi}{2}$ だから、$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{2}$ である。よって $$\displaystyle S\left(\frac{\pi}{2}\right):\quad Y=0.$$

$\displaystyle \alpha\ne\frac{\pi}{2}$ では上の角度条件を二乗して $$\sin^2\alpha\,Y^2=\cos^2\alpha\,(X^2-2Y+1)$$ を得る。ただし二乗で余分な枝を加えないため $Y\cos\alpha<0$ を付す。この符号条件を保った軌跡は $$\boxed{\sin^2\alpha\,Y^2=\cos^2\alpha\,(X^2-2Y+1),\qquad Y\cos\alpha<0.}$$ である。平方完成すれば、同じ軌跡を $$\tan^2\alpha\,(Y+\cot^2\alpha)^2-X^2=\csc^2\alpha, \qquad Y\cos\alpha<0$$ とも表せる。

最後に、点 $P$ が $\displaystyle S\left(\frac{\pi}{2}\right)$ 上にあるときは $Y=0$ だから、$R=(X,2+2X^2)$ である。$R$ の座標を $(x,y)$ と書き直すと、その軌跡は $$y=2+2x^2$$ となる。