1筑波大学 2019年 数学 第1問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned}C:\ y=x^2-kx&\quad\text{ならば}\quad y\prime=2x-k,\quad \text{点 }O\text{ における接線 }\ell_1:\ y=-kx,\\-k&=-\frac13\quad\text{ならば}\quad k=\frac13.\\t&=\tan\theta,\quad 0<t<1,\quad x(x-k-t)=0,\\P&=(k+t,t(k+t)),\quad \ell_2\text{ の傾き}=2(k+t)-k=k+2t.\\\frac13+2t&=\tan2\theta=\frac{2t}{1-t^2}\quad\text{ならば}\quad 6t^3+t^2-1=0,\\6t^3+t^2-1&=\left(t-\frac12\right)(6t^2+4t+2),\quad \Delta_{6t^2+4t+2}=-32<0,\\t&=\frac12.\\P&=\left(\frac56,\frac5{12}\right),\quad \ell_1:y=-\frac{x}{3},\quad \ell_2:y-\frac5{12}=\frac43\left(x-\frac56\right),\\Q&=\left(\frac5{12},-\frac5{36}\right).\\m_1&=-\frac13,\quad m_2=\frac43,\quad \tan\beta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1m_2}\right|=3,\\P_x&>Q_x>O_x\quad\text{ならば}\quad \overrightarrow{QP}\text{ は }\ell_2\text{ に沿って右向き、}\overrightarrow{QO}\text{ は }\ell_1\text{ に沿って左向き},\\\alpha&=\pi-\beta,\quad \tan\alpha=-\tan\beta=-3.\end{aligned}$$