5弘前大学 2018年 数学 第5問解答・解説

・ 傾き $m$、切片 $n$ の直線を $y=mx+n$ とする。これと $C_1$ との交点の $x$ 座標は $$x^2+(4a-m)x+a^2-n=0$$ を満たす。接する条件は判別式が $0$ であるから $$\displaystyle n=-3a^2+2am-\frac{m^2}{4}.$$ 同様に $C_2$ との交点の $x$ 座標について $$x^2+(m-4a)x+a^2+n=0$$ となるので、接する条件は $$\displaystyle n=\frac{m^2}{4}-2am+3a^2.$$ これらを等しくすると $$m^2-8am+12a^2=(m-2a)(m-6a)=0.$$ したがって $m=2a$ または $m=6a$ であり、いずれも $n=0$ となる。よって傾きの大小から $$\ell_1:y=6ax,\qquad \ell_2:y=2ax.$$

・ それぞれの直線の傾斜角を $\alpha_1,\alpha_2$ とすると、$\displaystyle 0<\alpha_2<\alpha_1<\frac{\pi}{2}$、$\tan\alpha_1=6a$、$\tan\alpha_2=2a$ である。加法定理より $$\displaystyle \tan\theta=\tan(\alpha_1-\alpha_2)=\frac{6a-2a}{1+12a^2}=\frac{4a}{1+12a^2}.$$ ここで $$1+12a^2-4\sqrt{3}a=(2\sqrt{3}a-1)^2\geq 0$$ より $\displaystyle \tan\theta\leq\frac{1}{\sqrt{3}}$。等号は $\displaystyle a=\frac{1}{2\sqrt{3}}$ のとき成立する。$\displaystyle 0<\theta<\frac{\pi}{2}$ であるから $$\displaystyle \theta_{\max}=\arctan\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\pi}{6}.$$