4弘前大学 2018年 数学 第4問解答・解説

解答 (1) $0<x<\pi/2$ とし，$u=\cos x$ とおくと $0<u<1$ である。したがって $$\displaystyle f'(x)=\cos x+\frac{1}{\cos^2 x}-2 =u+\frac{1}{u^2}-2 =\frac{(u-1)(u^2-u-1)}{u^2}>0,$$ なぜなら $u-1<0$，$u^2-u-1<0$，$u^2>0$ だからである。$f(0)=0$ なので，微積分の基本定理から $$\displaystyle f(x)=f(0)+\int_0^x f'(t)\,dt>0.$$

(2) $$\displaystyle u=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$$ とおくと $$\displaystyle \frac{du}{dx}=1-u^2,\qquad u(0)=0,\qquad u(1)=u_1=\frac{e^2-1}{e^2+1}.$$ また $e^{2x}=(1+u)/(1-u)$，$e^{-2x}=(1-u)/(1+u)$ より $$\displaystyle (e^{2x}+a)(e^{-2x}+a)=\frac{(a+1)^2-(a-1)^2u^2}{1-u^2}.$$ 従って，問題の積分 $I$ は $$\displaystyle I=\int_0^{u_1}\frac{du}{(a+1)^2-(a-1)^2u^2}.$$ $a\ne1$ のとき $A=a+1$，$C=a-1$ とおけば $$\displaystyle \frac{d}{du}\left[\frac{1}{2AC}\log\left(\frac{A+Cu}{A-Cu}\right)\right] =\frac{1}{A^2-C^2u^2}.$$ さらに $(A+Cu_1)/(A-Cu_1)=(1+ae^2)/(e^2+a)$ だから $$\displaystyle I=\frac{1}{2(a^2-1)}\log\left(\frac{1+ae^2}{e^2+a}\right).$$ $a=1$ のときは $$\displaystyle I=\int_0^{u_1}\frac{du}{4}=\frac{e^2-1}{4(e^2+1)}.$$