1福島県立医科大学 2026年 数学 第1問解答・解説

(1) 企業 $J_1$ の仕入金額を $M\ (M>0)$ とする。各企業から次の企業への販売および最終消費者への販売のたびに金額は $1.2$ 倍になるから、消費者の購入金額は $1.2^nM$ である。したがって $$1.2^nM\ge 3M \quad\text{の必要十分条件は}\quad n\log_{10}1.2\ge \log_{10}3.$$ 与えられた値から $$\log_{10}1.2=\log_{10}2+\log_{10}3-\log_{10}5 =2\log_{10}2+\log_{10}3-1=0.079$$ なので、$n\ge 0.477/0.079\approx6.04$。よって最小の自然数は $n=7$ である。

(2) 接点の $x$ 座標を $t$ とする。$C_1$ は放物線なので $a\ne0$ であり、$x=0$ では両曲線の値が異なるから $t\ne0$ である。接点での関数値と導関数を等しくすると $$\displaystyle a(t^2+1)=\log_e(1+t^2),\qquad 2at=\frac{2t}{1+t^2}.$$ 後式から $a=1/(1+t^2)$ であり、これを前式に代入して $$\displaystyle 1=\log_e(1+t^2),\qquad t^2=e-1,\qquad a=\frac1e.$$ このとき接点は $x=\pm\sqrt{e-1}$ である。$0\le y\le 1/e$ では囲まれた部分の水平断面は半径 $\sqrt{e^y-1}$ の円盤となる。$1/e\le y\le1$ では、曲線を $x^2$ について解くと $C_1$ が $x^2=ey-1$、$C_2$ が $x^2=e^y-1$ であり、水平断面を回転した断面は外半径 $\sqrt{e^y-1}$、内半径 $\sqrt{ey-1}$ の円環となる。左右の部分は回転後に同じ円盤または円環を作るので、体積は $$\displaystyle \begin{aligned} V&=\pi\int_0^{1/e}(e^y-1)\,dy +\pi\int_{1/e}^{1}\bigl((e^y-1)-(ey-1)\bigr)\,dy\\ &=\pi\left(e^{1/e}-\frac1e-1+\frac e2-e^{1/e}+\frac1{2e}\right) =\frac{\pi(e^2-2e-1)}{2e}. \end{aligned}$$

(3) $t=x-2\pi$ とおくと $0\le t\le\pi$ であり、$\sin x=\sin t$ である。$t=0$ では不等式が成り立つ。$0<t\le\pi/3$ ではラジアンにおける $\sin t<t$ より $$\displaystyle \frac{\sin x}{x}=\frac{\sin t}{2\pi+t} <\frac{t}{2\pi+t}\le \frac{\pi/3}{2\pi+\pi/3}=\frac17.$$ 一方、$\pi/3\le t\le\pi$ では $\sin t\le1$ かつ $x=2\pi+t\ge7\pi/3>7$（$\pi>3$）だから $$\displaystyle \frac{\sin x}{x}\le\frac1x<\frac17.$$ 以上より、指定された区間全体で不等式が成り立つ。

(4) $A$から$BC$への高さを$H$、$P$から$BC$への距離を$tH$とおく。$P$は三角形の周・内部を動くので$0\le t\le1$。同じ底辺$BC$を用いると$S_{PBC}=t$であり、三角形の分割から$S_{ABP}+S_{ACP}=1-t$。 $D,E$は辺の中点だから、底辺の比より $$\displaystyle S_{ADP}+S_{AEP}=\frac{S_{ABP}+S_{ACP}}2=\frac{1-t}{2}.$$ $DE$は$BC$と平行で長さはその半分、$BC$からの距離は$H/2$である。従って$P$から$DE$への距離は$H|t-1/2|$。$S_{ABC}=BC\cdot H/2=1$を用いると $$\displaystyle S_{DEP}=\frac12\cdot\frac{BC}{2}\cdot H\left|t-\frac12\right|=\frac{|2t-1|}{4}.$$ よって $$\displaystyle S=\frac{1-t}{2}+\frac{|2t-1|}{4}=\begin{cases}\frac34-t,&0\le t\le\frac12,\\ \frac14,&\frac12\le t\le1.\end{cases}$$ 最大値は$\boxed{3/4}$（$P$が辺$BC$上）、最小値は$\boxed{1/4}$（$P$が三角形$ADE$の周・内部）である。