2福島県立医科大学 2026年 数学 第2問解答・解説

各辺の長さが1なので $|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=1$。余弦定理から $$\displaystyle \vec a\cdot\vec b=\vec b\cdot\vec c=\vec c\cdot\vec a=\frac12.$$ また $\overrightarrow{OD}=t\vec b$、$\overrightarrow{OE}=t\vec c$ である。

（1）$\displaystyle \vec m=\overrightarrow{OM}=\frac t2(\vec b+\vec c)$ とおくと $$\displaystyle |\vec m|^2=\frac{3t^2}{4},\qquad \vec a\cdot\vec m=\frac t2.$$ したがって $\cos\angle AOM=1/\sqrt3$、$\sin\angle AOM=\sqrt{2/3}$。ゆえに $$\displaystyle [OAM]=\frac12\cdot1\cdot\frac{\sqrt3t}{2}\cdot\sqrt{\frac23} =\frac{t}{2\sqrt2}.$$

（2）位置ベクトルの差から $$\displaystyle \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{OM}-\overrightarrow{OA} =\frac t2(\vec b+\vec c)-\vec a.$$

（3）$\vec d=\overrightarrow{DE}=t(\vec c-\vec b)$ とおく。内積の値から $$\vec a\cdot\vec d=0,\qquad \overrightarrow{AM}\cdot\vec d=0.$$ $\overrightarrow{AM}$ と $\vec d$ は平面 $ADE$ の互いに直交する方向である。垂足 $H$ はこの平面上にあるので、ある実数 $u,v$ を用いて $$\overrightarrow{OH}=\vec a+u\overrightarrow{AM}+v\vec d$$ と表せる。$OH\perp DE$ だから、上の直交関係より $v|\vec d|^2=0$。$t>0$ より $\vec d\ne\vec0$ であり、$v=0$。よって $H$ は直線 $AM$ 上にある。

$\overrightarrow{AH}=k\overrightarrow{AM}$ とおくと $\overrightarrow{OH}=\vec a+k\overrightarrow{AM}$。さらに $OH\perp AM$ より $$(\vec a+k\overrightarrow{AM})\cdot\overrightarrow{AM}=0.$$ ここで $$\displaystyle \vec a\cdot\overrightarrow{AM}=\frac t2-1,\qquad |\overrightarrow{AM}|^2=1-t+\frac{3t^2}{4}$$ なので $$\displaystyle k=\frac{1-t/2}{1-t+3t^2/4} =\frac{2(2-t)}{3t^2-4t+4}.$$ $H=M$ は $k=1$ と同値であり、$0<t<1$ において $t(3t-2)=0$ の解は $t=2/3$。

（4）$0<t<1$ では $k>0$ なので、同一直線上で $[OAH]=k[OAM]$。したがって $$\displaystyle [OAH]=\frac{t(2-t)}{\sqrt2(3t^2-4t+4)}.$$

（5）$S(t)=[OAH]$ とおく。分母 $3t^2-4t+4=3(t-2/3)^2+8/3$ は正であり、微分すると $$\displaystyle S'(t)=-\frac{2(t^2+4t-4)}{\sqrt2(3t^2-4t+4)^2}.$$ 二次式 $t^2+4t-4$ は $0<t<1$ で増加し、端ではそれぞれ負、正となる。その唯一の零点は $$t_0=-2+2\sqrt2=2\sqrt2-2.$$ 従って $S$ は $0<t<t_0$ で増加し、$t_0<t<1$ で減少するから、最大となるのは $t=t_0$。

このとき $t_0>2/3$ で、$t_0^2+4t_0-4=0$ より $3t_0^2-4t_0+4=4t_0^2$。また $$\displaystyle 1-k=\frac{t(3t-2)}{3t^2-4t+4} =\frac{3t-2}{4t}>0.$$ $M$ は平面 $OBC$ 上にあり、$\overrightarrow{OH}=(1-k)\vec a+k\overrightarrow{OM}$ なので、$H$ から平面 $OBC$ までの距離は、頂点 $A$ から同平面までの高さの $1-k$ 倍である。$\triangle ODE$ は $\triangle OBC$ と相似比 $t$ だから $$V_{ODEH}=t^2(1-k)V_{OABC}.$$ $\triangle OBC$ の面積は $\sqrt3/4$、頂点 $A$ からその平面までの高さは $\sqrt{2/3}$。従って $$\displaystyle V_{OABC}=\frac13\cdot\frac{\sqrt3}{4}\cdot\sqrt{\frac23}=\frac{\sqrt2}{12}.$$ よって $$\displaystyle V_{ODEH}=\frac{\sqrt2}{48}t_0(3t_0-2) =\frac{5\sqrt2-7}{6}.$$

正四面体の辺ベクトルの内積は1/2。これによりOM・AMの長さと角度、平面ADE内の直交方向DEを求める。垂足HがAM上にあることを示して係数を決定し、面積関数を微分して最大値を得る。体積は底面ODEと平面OBCからの高さで算出する。