I日本医科大学 2024年 数学 第I問解答・解説

$\theta=\angle AOB$ とおくと、$\alpha<\theta<\pi/2$ であり、余弦はこの範囲で減少する。したがって $$\displaystyle 0=\cos\frac{\pi}{2}<x=\cos\theta<\cos\alpha=\frac23.$$ よって $\boxed{\text{ア}}=0,\ \boxed{\text{イ}}=2/3$ である。

$\vec u=\overrightarrow{OA},\ \vec v=\overrightarrow{OB}$ とし、 $$\overrightarrow{OH}=s\vec u+t\vec v$$ とおく。$|\vec u|=2,\ |\vec v|=3,\ \vec u\cdot\vec v=6x$ である。$AH\perp OB$、$BH\perp OA$ より $$(s\vec u+(t\vec v)-\vec u)\cdot\vec v=0,\qquad (s\vec u+t\vec v-\vec v)\cdot\vec u=0,$$ すなわち $$4s+6xt=6x,\qquad 6xs+9t=6x.$$ 第一式から $\displaystyle s=\frac{3x}{2}(1-t)$ となる。これを第二式に代入すると $$3(1-x^2)t=x(2-3x)$$ を得る。ここで $0<x<2/3<1$ より $1-x^2\ne0$ だから、 $$\displaystyle t=\frac{x(2-3x)}{3(1-x^2)},\qquad s=\frac{x(3-2x)}{2(1-x^2)}.$$ 従って $$\displaystyle \overrightarrow{OH} =\frac{x(3-2x)}{2(1-x^2)}\overrightarrow{OA} +\frac{x(2-3x)}{3(1-x^2)}\overrightarrow{OB}.$$ よって $\boxed{\text{ウ}}=3,\boxed{\text{エ}}=2,\boxed{\text{オ}}=2,\boxed{\text{カ}}=2,\boxed{\text{キ}}=3,\boxed{\text{ク}}=3$ である。

三角形 $HAB$ について、$\overrightarrow{AH}=(s-1)\vec u+t\vec v$、$\overrightarrow{AB}=-\vec u+\vec v$ である。座標を $O=(0,0),\ A=(2,0),\ B=(3x,3\sqrt{1-x^2})$ と置くと、$H=(2s+3xt,3t\sqrt{1-x^2})$ となる。座標による三角形の面積公式から $$\displaystyle S(x)=\frac12\left|(2s+3xt-2)3\sqrt{1-x^2}-3t\sqrt{1-x^2}(3x-2)\right| =3\sqrt{1-x^2}\,|s+t-1|.$$ ここで $$\displaystyle s+t-1=\frac{13x-6x^2-6}{6(1-x^2)}.$$ また $$6x^2-13x+6=(3x-2)(2x-3)>0\qquad(0<x<2/3)$$ なので $s+t-1<0$。従って $$\displaystyle S(x)=\frac{6x^2-13x+6}{2\sqrt{1-x^2}}.$$ よって $\boxed{\text{ケ}}=6,\boxed{\text{コ}}=13,\boxed{\text{サ}}=6,\boxed{\text{シ}}=2$ である。

最後に、この式を微分すると $$\displaystyle S'(x)=\frac{18x-13-6x^3}{2(1-x^2)^{3/2}}.$$ 分子 $g(x)=18x-13-6x^3$ について $$g'(x)=18(1-x^2)>0\qquad(0<x<2/3)$$ であるから $g$ は増加する。一方、$g(2/3)=-25/9<0$ なので、区間全体で $g(x)<0$。分母は正であるから $S'(x)<0$ となり、$S(x)$ は単調に減少する。従って $\boxed{\text{ス}}$ は（い）である。