日本医科大学 2024年数学第II問解答・解説

1問題

日本医科大学2024年度第II問

以下では $m=1,2,3,\ldots$ , $n=0,1,2,\ldots$ , $k=0,1,2,\ldots,m$ とする。中が見えない袋の中に, 互いに区別のつかない白玉が $m$ 個, 互いに区別のつかない赤玉が $n$ 個入っている。この袋の中から無作為に1個の玉を取り出し, その玉の色を確認したあとに取り出した玉を袋の中に戻すという操作を $m$ 回繰り返す。この試行において赤玉が $k$ 回取り出される確率を $p_{m,n}(k)$ とし, $q_{m,n},R_{n},S_{n}(k)$ を次式で定めるとき, 以下の各問いに答えよ。 $\displaystyle q_{m,n}=\sum\limits _{k=0}^{m}2^{k}\cdot p_{m,n}(k),\qquad R_{n}=\lim\limits _{m\to\infty}q_{m,n},\qquad S_{n}(k)=\lim\limits _{m\to\infty}p_{m,n}(k).$

問1 $q_{m,n}$ は $\displaystyle q_{m,n}=\left(\frac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}\right)^{\boxed{\text{ウ}}}$ と表せる。ア, イ, ウに入る適切な $m,n$ の整式を求めよ。答えのみでよい。

問2 極限 $R_{n}$ を $n$ を用いて表せ。答えのみでよい。

問3 極限 $S_{n}(k)$ を $n,k$ を用いて表せ。答えのみでよい。

問4 次の極限値を求めよ。 $\displaystyle \lim\limits _{N\to\infty}\left\{\frac{1}{N^{4}}\sum\limits _{n=1}^{N}R_{n}\cdot S_{n}(3)\right\}$

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

問1
$q_{m,n}=((m+2n)/(m+n))^m$
問2
$R_n=e^n$
問3
$\displaystyle S_n(k)=e^{-n}\frac{n^k}{k!}$ （ $n=0$ を含むとき $0^0=1$ とする）
問4
1/24

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$\displaystyle \begin{aligned}q_{m,n}&=\left(\frac{m+2n}{m+n}\right)^m,\quad R_n=e^n,\\S_n(k)&=e^{-n}\frac{n^k}{k!},\\\lim\limits _{N\to\infty}\frac1{N^4}\sum\limits _{n=1}^N R_nS_n(3)&=\lim\limits _{N\to\infty}\frac1{6N^4}\sum\limits _{n=1}^N n^3=\frac1{24}.\end{aligned}$

赤玉1回の確率は $\displaystyle \frac{n}{m+n}$ 、白玉は $\displaystyle \frac{m}{m+n}$ 。復元抽出をm回行うので赤玉回数 $K$ は二項分布 $\displaystyle \operatorname{Bin}(m,\frac{n}{m+n})$ 。確率母関数から $\displaystyle E[2^K]=\left(\frac{m}{m+n}+\frac{2n}{m+n}\right)^m=\left(\frac{m+2n}{m+n}\right)^m$ 。 $m\to\infty$ でこれは $\displaystyle \left(1+\frac{n}{m+n}\right)^m\to e^n$ 。固定 $k$ に対する二項確率はPoisson極限 $\displaystyle e^{-n}\frac{n^k}{k!}$ 。よって $\displaystyle R_nS_n(3)=e^n\cdot e^{-n}\frac{n^3}{3!}=\frac{n^3}{6}$ 。従って求める極限は $\displaystyle \frac16\lim\limits _{N\to\infty}\frac1{N^4}\sum\limits _{n=1}^N n^3=\frac16\cdot\frac14=\frac1{24}$ 。

この問題で使う考え方

二項分布の確率母関数
二項分布のPoisson極限
べき和の漸近評価

1問題

2答え

3解答

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