4秋田大学 2002年 数学 第4問解答・解説

(i) 箱を選ぶ確率は各箱で $1/n$。$k$ 番の箱では白玉が出る確率 $k/n$、黒玉が出る確率 $(n-k)/n$ であり、戻して10回行うので「黒がちょうど1回」の確率は $$\displaystyle 10\frac{n-k}{n}\left(\frac{k}{n}\right)^9.$$ したがって $$\displaystyle p_n=\frac1n\sum\limits _{k=1}^n10\left(1-\frac{k}{n}\right)\left(\frac{k}{n}\right)^9.$$ これは連続関数 $10(1-x)x^9$ の右端リーマン和だから $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}p_n =10\int_0^1(1-x)x^9\,dx =10\left(\frac1{10}-\frac1{11}\right) =\boxed{\frac1{11}}.$$

(ii) $n=10$、7番の箱では白7個・黒3個。白玉が出る7つの位置は $\displaystyle \binom{10}{7}=120$ 通りが同様に確からしい。2個目の白玉が $t$ 回目に出る場合は $t=2,3,4,5$。そのための白玉の位置の選び方は、最初の $t-1$ 回から1つ、$t$ 回目を1つ、その後から5つを選ぶので $$\displaystyle N_t=(t-1)\binom{10-t}{5}.$$

$$\begin{array}{c|rrrr} t&2&3&4&5\\ \hline N_t&56&42&18&4 \end{array}$$ これらの合計は120。したがって期待値は $$\displaystyle E[T]=\frac{2\cdot56+3\cdot42+4\cdot18+5\cdot4}{120} =\boxed{\frac{11}{4}\text{回}}.$$