秋田大学 2002年数学第2問解答・解説

図形と方程式平面上の曲線と複素数平面

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1問題

秋田大学2002年度第2問

次の問いに答えよ。

(i) 複素数平面上に直線 $l: 2x + 3y - 5 = 0$ がある。 $l$ 上の任意の点を $z$ で表す。 $z = x + yi$ と, $z$ に共役な複素数 $\bar{z} = x - yi$ がみたす関係式を

$\bar {\alpha} z + \alpha \bar {z} - 10 = 0$

の形に表せ。ただし, i は虚数単位であり, α は複素数の定数である。

(ii) (i)において, 原点をOとし, 直線lが実軸, 虚軸と交わる点をそれぞれA, Bとする。線分OA, OB上にそれぞれ点P, Qをとり, さらにl上に2点R, Sをとる。4点P, Q, R, Sのつくる四角形が正方形となるとき, 2点R, Sを表す複素数を求めよ。

(iii) 複素数平面上に直線 $l'$ がある。 $l'$ 上の任意の点 z は関係式

$\bar {\beta} z + \beta \bar {z} + c = 0$

をみたすとする。ただし, $\beta$ は0でない複素数の定数, $c$ は0でない実数の定数とする。この直線 $l'$ に関して原点0と対称な点を $w$ とするとき, 複素数 $w$ を $\beta$ と $c$ を用いて表せ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(i)
$α=2+3i$
(ii)
$\displaystyle z_R=\frac{10+25i}{19},\quad z_S=\frac{25+15i}{19}$ （P,Q,R,Sの順）
(iii)
$\displaystyle w=-\frac{c\beta}{|\beta|^2}=-\frac{c}{\overline\beta}$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

(i) 共役の積を展開すると $\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}=2ux+2vy$ 。指定直線を2倍した式と係数を比べて $\alpha=2+3i$ を得る。(ii) PQ∥lより $P=(3k,0),\quad Q=(0,2k)$ 。線分条件から $\displaystyle 0<k\le\frac56$ 。PQ長 $k\sqrt{13}$ と平行線間距離 $\displaystyle \frac{5-6k}{\sqrt{13}}$ を等置しk=5/19。法線方向 $(2k,3k)$ だけP,Qを移してR,Sを得る。 (iii) 垂足h=tβを直線式へ代入して $\displaystyle h=-\frac{c\beta}{2|\beta|^2}$ 、反射点は $w=2h$ 。全て高校範囲の複素数計算・座標幾何で説明。詳細はauthor.tex。

この問題で使う考え方

共役複素数の展開
座標化と平行線間距離
法線方向への移動
垂足と中点による対称移動

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