3北海道大学 2002年 数学 第3問解答・解説

・ $\overrightarrow{AC}=(x_2,y_2)$ であり、$x_2\ne0$ だから、直線 $AC$ の方程式は $$\displaystyle y-y_1=\frac{y_2}{x_2}(x-x_1)$$ である。したがって、$E$ は $$\displaystyle E=\left(0,y_1-\frac{x_1y_2}{x_2}\right)$$ となる。$OD=|x_2|$、$\displaystyle OE=\left|y_1-\frac{x_1y_2}{x_2}\right|$ より $$\displaystyle S=\frac12|OD||OE|=\frac12|x_2y_1-x_1y_2|.$$

・ $A,B$ は楕円 $L$ 上にあるから、実数 $\theta_1,\theta_2$ を用いて $$x_i=a\cos\theta_i,\qquad y_i=b\sin\theta_i\quad(i=1,2)$$ と表せる。(1)より $$\displaystyle S=\frac{ab}{2}|\cos\theta_2\sin\theta_1-\cos\theta_1\sin\theta_2| =\frac{ab}{2}|\sin(\theta_1-\theta_2)|\leq\frac{ab}{2}.$$ 例えば $A=(0,b), B=(a,0)$ とすれば、条件を満たし等号が成り立つ。よって最大値は $\displaystyle \frac{ab}{2}$ である。

・ 最大値を与えるとき $|\sin(\theta_1-\theta_2)|=1$ だから、$\sin^2(\theta_1-\theta_2)+\cos^2(\theta_1-\theta_2)=1$ より $\cos(\theta_1-\theta_2)=0$ である。加法定理を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} \frac{(x_1+x_2)^2}{2a^2}+\frac{(y_1+y_2)^2}{2b^2} &=\frac12\left\{(\cos\theta_1+\cos\theta_2)^2+(\sin\theta_1+\sin\theta_2)^2\right\}\\ &=1+\cos(\theta_1-\theta_2)=1. \end{aligned}$$ したがって、点 $C$ は $\displaystyle \left(\frac{x}{\sqrt{2}a}\right)^2+\left(\frac{y}{\sqrt{2}b}\right)^2=1$ 上にある。