6東京大学 2020年 数学 第6問解答・解説

(1) $f(\theta)=A\sin2\theta-\sin(\theta+\alpha)$ とおく。$A>1$ および $-1\leq\sin x\leq1$ より、 $$\displaystyle f\!\left(\frac\pi4\right)>A-1>0,\quad f\!\left(\frac{3\pi}4\right)<-A+1<0,\quad f\!\left(\frac{5\pi}4\right)>A-1>0,\quad f\!\left(\frac{7\pi}4\right)<-A+1<0,\quad f\!\left(\frac{9\pi}4\right)>A-1>0.$$ $f$ は連続なので、これらの隣り合う点の間の4区間それぞれに少なくとも1つ解がある。最後の区間は $2\pi$ をまたぐが、$f$ は $2\pi$ 周期であるから、その解は $0\leq\theta<2\pi$ の解に対応する。4つの区間は周期を考えても互いに重ならないため、異なる解が少なくとも4個ある。

(2) $P=(u,v)$、$Q(t)=(\sqrt2\cos t,\sin t)\ (0\leq t<2\pi)$ とおく。$Q(t)$ における $C$ の接線は $$\displaystyle \frac{x\cos t}{\sqrt2}+y\sin t=1$$ であり、その方向ベクトルとして $(-\sqrt2\sin t,\cos t)$ をとれる。よって、直線 $PQ$ が接線と直交する条件は $$g(t):=(u-\sqrt2\cos t)(-\sqrt2\sin t)+(v-\sin t)\cos t =\sin t\cos t-\sqrt2u\sin t+v\cos t=0$$ である。

まず $\displaystyle r=\frac12$ とする。点 $P$ が領域 $D$ 内にあるなら $\displaystyle 2u^2+v^2<\frac14$ なので $$\displaystyle \left|u\pm\frac{v}{\sqrt2}\right|\leq\sqrt{2u^2+v^2}<\frac12.$$ これより $$\displaystyle g\!\left(\frac\pi4\right)=\frac12-\left(u-\frac{v}{\sqrt2}\right)>0,\quad g\!\left(\frac{3\pi}4\right)=-\frac12-\left(u+\frac{v}{\sqrt2}\right)<0,$$ $$\displaystyle g\!\left(\frac{5\pi}4\right)=\frac12+\left(u-\frac{v}{\sqrt2}\right)>0,\quad g\!\left(\frac{7\pi}4\right)=-\frac12+\left(u+\frac{v}{\sqrt2}\right)<0,\quad g\!\left(\frac{9\pi}4\right)=g\!\left(\frac\pi4\right)>0.$$ $g$ は連続かつ $2\pi$ 周期であるから、隣り合う各点の間に $g(t)=0$ となる $t$ があり、周期を考えて異なる $Q$ が少なくとも4個得られる。したがって $\displaystyle r=\frac12$ は条件を満たす。

次に $\displaystyle r>\frac12$ とし、$\displaystyle P_0=(\frac14,-\frac{\sqrt2}{4})$ を考える。このとき $$\displaystyle 2\left(\frac14\right)^2+\left(-\frac{\sqrt2}{4}\right)^2=\frac14<r^2$$ だから 点 $P_0$ は領域 $D$ 内にある。この点について上の条件式は $$\displaystyle g(t)=\sin t\cos t-\frac{\sqrt2}{4}(\sin t+\cos t)=0.$$ $s=\sin t+\cos t$ とおくと $\displaystyle \sin t\cos t=\frac{s^2-1}{2}$ なので、 $$\displaystyle g(t)=0\quad\text{であるための必要十分条件は}\quad s^2-\frac{s}{\sqrt2}-1=0 \quad\text{、すなわち}\quad (s-\sqrt2)\left(s+\frac1{\sqrt2}\right)=0.$$ $s=\sqrt2$ となる $t$ は1つであり、$\displaystyle s=-\frac1{\sqrt2}$ は $\displaystyle \sin(t+\frac\pi4)=-\frac12$ と同値なので $0\leq t<2\pi$ で2つである。したがって $P_0$ に対して条件を満たす $Q$ はちょうど3個であり、$\displaystyle r>\frac12$ は条件を満たさない。以上より最大値は $\displaystyle \frac12$ である。