1東京大学 2020年 数学 第1問解答・解説

第1問

3つの左辺を $$q_1(x)=ax^2+bx+c,\qquad q_2(x)=bx^2+cx+a,\qquad q_3(x)=cx^2+ax+b$$ とおき、その共通解集合を $$S=\{x\mid q_1(x)>0,\ q_2(x)>0,\ q_3(x)>0\}=\{x\mid x>p\}$$ とする。

agraph{(1)} $a<0$ とすると、$q_1(x)$ は十分大きい正の $x$ で負になる。これは、そのような $x$ も $x>p$ なので $q_1(x)>0$ であることに反する。したがって $a\ge0$。同じ議論を $q_2,q_3$ に用いると $b\ge0,\ c\ge0$ も得られる。

agraph{(2)} $a,b,c$ がすべて正だとする。このとき各二次式の二次の係数は正だから、十分大きい負の $x$ では $q_1(x),q_2(x),q_3(x)$ はすべて正となる。そのような $x$ を $x\le p$ となるように選べば、$x\in S$ となって $S=\{x\mid x>p\}$ に反する。よって $a,b,c$ の少なくとも1つは $0$ である。

agraph{(3)} 3式の共通解集合は係数 $a,b,c$ の巡回置換で変わらないので、$a=0$ としてよい。このとき $$q_1(x)=bx+c,\qquad q_2(x)=x(bx+c)=xq_1(x),\qquad q_3(x)=cx^2+b.$$ $x\in S$ なら $q_1(x)>0$ かつ $q_2(x)>0$ だから $x>0$。したがって $S\subset\{x\mid x>0\}$。

$S=\{x\mid x>p\}$ は空でないので、$b,c$ が同時に $0$ ではない。(1)より $b,c\ge0$ だから、任意の $x>0$ について $q_1(x)>0,\ q_2(x)>0,\ q_3(x)>0$ である。よって $\{x\mid x>0\}\subset S$ でもあり、$S=\{x\mid x>0\}$。これと $S=\{x\mid x>p\}$ から $p=0$ が従う。