2金沢医科大学 2022年 2日目 数学 第2問解答・解説

第2問

$a>0$ より $$ax^2+2(a-1)x-4=(x+2)(ax-2),\qquad 3x^2+(3a-1)x-a=(3x-1)(x+a).$$ 従って①の解は $-2<x<2/a$、②の解は $x\le-a$ または $x\ge1/3$。ここで $-a<1/3$ であるから、共通範囲は $$\begin{cases} -2<x\leq-a\text{ または }1/3\leq x<2/a,&0<a<2,\\ 1/3\leq x<2/a,&2\le a<6,\\ \text{解なし},&a\ge6. \end{cases}$$

・ $a=1$ のとき共通範囲は $-2<x\leq-1\text{ または }1/3\leq x<2$。整数は $-1,1$ の2個。

・ $2<a<6$ では共通範囲は $1/3\leq x<2/a$。従って空欄は $1,3,2$。

・ $x=1/2$ を①に代入すると $$\displaystyle (x+2)(ax-2)=\frac52\left(\frac a2-2\right)<0\text{すなわち} a<4.$$ ②は $(3/2-1)(a+1/2)>0$ で、$a>0$ の範囲で常に成り立つ。従って $0<a<4$。

・ $0<a\le1$ なら左側の範囲 $-2<x\leq-a$ に整数 $-1$ が1個含まれ、$1<a<2$ では左側の範囲に整数はない。右側の範囲に含まれる正整数は $n<2/a$ を満たすもの。 ちょうど5個となるには左側の範囲の $-1$ と右側の範囲の4個が必要である（$a>1$ では右側の範囲の整数は高々1個）。右側の範囲に4個となる条件は $$\displaystyle 4<\frac2a\le5\text{すなわち} \frac25\le a<\frac12.$$ この範囲は $a\le1$ を満たすため、求める範囲は $2/5\le a<1/2$。

・ $0<a<6$ では右側の範囲 $1/3\leq x<2/a$ が空でなく、共通する実数がある。$a=6$ では端点が一致しても①は上端を含まないため共通解はなく、以後もない。従って $a\ge6$。

・ $a<2$ なら $x=1$ は $-2<1<2/a$ かつ $(3-1)(1+a)>0$ を満たし、整数解となる。$a\ge2$ では左側の範囲は空で、右側の範囲は $1/3\le x<2/a\le1$ となり整数を含まない。従って整数解がない範囲は $a\ge2$。