3金沢医科大学 2022年 2日目 数学 第3問解答・解説

第3問

比 $1:2$ に内分する点は、始点を $X$、終点を $Y$ とすると $(2X+Y)/3$ である。

・ $n$ が奇数なら終点は $B=(1,0)$、偶数なら $C=(-1,0)$。よって $$\displaystyle x_{n+1}=\frac23x_n+\frac{(-1)^{n+1}}3,\quad x_1=0, \qquad y_{n+1}=\frac23y_n,\quad y_1=1.$$ したがって空欄は $2,3,3,2,3$。

・ $z_n=x_n/(-1)^n$ とすると $$\displaystyle z_{n+1}=\frac{x_{n+1}}{(-1)^{n+1}}=-\frac23z_n+\frac13,\qquad z_1=0.$$ この漸化式の定数解は $1/5$ なので $$\displaystyle z_n=\frac15-\frac15\left(-\frac23\right)^{n-1}.$$ 従って $$\displaystyle x_n=(-1)^nz_n=\frac15\left\{(-1)^n+\left(\frac23\right)^{n-1}\right\}.$$ 空欄は $2,3,1,3,1,5,2,3$。

・ $y_n=(2/3)^{n-1}$ だから $$\displaystyle 5x_n-y_n=(-1)^n+\left(\frac23\right)^{n-1}-y_n=(-1)^n.$$ よって空欄は $5$。

・ $A=A_{2n-1}$、$A'=A_{2n}$、$A''=A_{2n+1}$ とする。$A'$ は $AB$ を1:2に内分するので $AA'=AB/3$。また $A''$ は $A'C$ を1:2に内分し、$A'$ は直線 $AB$ 上にあるから、$A''$ から直線 $AB$ までの高さは $C$ からの高さの1/3である。従って $$\displaystyle S_n=\frac19[\triangle ABC].$$ 底辺 $BC$ の長さは2、高さは $y_{2n-1}=(2/3)^{2n-2}$ なので $$\displaystyle S_n=\frac19\left(\frac49\right)^{n-1}.$$ 従って $$\displaystyle S_1=\frac19,\qquad \sum\limits _{n=1}^{\infty}S_n=\frac{1/9}{1-4/9}=\frac15.$$ 空欄は $1,9,1,5$。