金沢医科大学 2022年 2日目数学第4問解答・解説

1問題

金沢医科大学2022年度第4問

楕円 $\displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{3}=1\quad\text{(①)}$ 上を動く点 $P$ と、点 $(1,0)$ との距離の最小値は $\displaystyle \frac{\sqrt{\boxed{\text{ワヲ}}}}{\boxed{\text{あ}}}$ であり、そのときの点 $P$ の座標は $\displaystyle A\left(\frac{\boxed{\text{い}}}{\boxed{\text{う}}},\frac{\boxed{\text{え}}}{\boxed{\text{お}}}\right),\qquad B\left(\frac{\boxed{\text{い}}}{\boxed{\text{う}}},-\frac{\boxed{\text{え}}}{\boxed{\text{お}}}\right)$ である。 $A$ における①の接線 $\ell_{1}$ と、 $B$ における①の接線 $m_{1}$ の交点を $T$ とするとき、 $T$ の座標は $(\boxed{\text{か}},\boxed{\text{き}})$ である。また、 $\tan\angle ATB$ の値は $\displaystyle \frac{\boxed{\text{く}}}{\boxed{\text{け}}}$ である。　次に、 $\ell_{1}$ に平行な①の接線を $\ell_{2}$ とし、 $m_{1}$ に平行な①の接線を $m_{2}$ とする。4本の直線 $\ell_{1},m_{1},\ell_{2},m_{2}$ で囲まれた平行四辺形の面積は $\boxed{\text{こさ}}$ である。さらに、①と $\ell_{2}$ の接点を $C$ 、①と $m_{2}$ の接点を $D$ とするとき、四角形 $ABCD$ の面積は $\boxed{\text{し}}$ である。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

楕円を $x=3\cos\theta,\ y=\sqrt3\sin\theta$ と表す。点 $(1,0)$ との距離の二乗は $(x-1)^2+y^2=6\cos^2\theta-6\cos\theta+4 =6(\cos\theta-1/2)^2+5/2.$ 従って最小は $5/2$ で、 $\cos\theta=1/2$ のときに達する。よって最小距離は $\sqrt{10}/2$ 、点は $A=(3/2,3/2),B=(3/2,-3/2)$ 。

楕円 $x^2/9+y^2/3=1$ の点 $(x_0,y_0)$ における接線は $xx_0/9+yy_0/3=1$ である。従って $\ell_1:x+3y=6,\qquad m_1:x-3y=6,$ 交点 $T=(6,0)$ 。 $\overrightarrow{TA}=(-9/2,3/2)$ 、 $\overrightarrow{TB}=(-9/2,-3/2)$ だから $\displaystyle \tan\angle ATB=\frac{|\overrightarrow{TA}\times\overrightarrow{TB}|}{\overrightarrow{TA}\cdot\overrightarrow{TB}}=\frac{27/2}{18}=\frac34.$ 平行なもう一方の接線は $\ell_2:x+3y=-6$ 、 $m_2:x-3y=-6$ 。4直線の交点は $(6,0),(0,2),(-6,0),(0,-2)$ で、対角線の長さは12と4。面積は $12\cdot4/2=24$ 。

$\ell_2,m_2$ の接点はそれぞれ $C=(-3/2,-3/2),D=(-3/2,3/2)$ 。四角形 $ABCD$ は縦横とも長さ3の長方形なので、面積は9。

この問題で使う考え方

楕円の標準形
二次式の平方完成
直線の方程式

1問題

2解答

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