I鳥取大学 2022年 数学 第I問解答・解説

(1)　 $z=u+iv$（$u^2+v^2=1$）とおくと、 $$\displaystyle w_1=\frac{-1+i+z}{i}=-i(-1+i+z)=1+i-iz=(1+v)+i(1-u).$$ $w_1=X+iY$ と書けば $X-1=v,\ Y-1=-u$ だから $$(X-1)^2+(Y-1)^2=v^2+u^2=1.$$ 逆にこの円上の点に対して $u=1-Y,\ v=X-1$ とすれば $u^2+v^2=1$ となるため、軌跡は円全体である。従って中心 $(1,1)$、半径 $1$ の円 $$\boxed{(X-1)^2+(Y-1)^2=1}$$ を図示すればよい。この円は $(1,0),(0,1)$ で各座標軸に接し、$(1,2),(2,1)$ を通る。

(2)　 $w_2=x+iy$（$x,y\text{ は実数}$）とおく。 $\alpha=-1+i$ より $$w_2\overline{\alpha}=(x+iy)(-1-i)=(y-x)-i(x+y),$$ $$\overline{w_2}\alpha=(x-iy)(-1+i)=(y-x)+i(x+y).$$ したがって与式は $$\displaystyle -2i(x+y)+ki=0, \qquad x+y=\frac{k}{2}$$ となり、$w_2$ の軌跡は直線 $x+y=k/2$ である。

(1)の円との共有点では $X=x-1,\ Y=y-1$ とおくと $$X^2+Y^2=1,\qquad x+y=2+X+Y.$$ $(X-Y)^2\geq0$ から $$(X+Y)^2\leq2(X^2+Y^2)=2, \qquad X+Y\leq\sqrt2.$$ よって $x+y\leq2+\sqrt2$、したがって $$k=2(x+y)\leq4+2\sqrt2.$$ 等号は $X=Y=1/\sqrt2$、すなわち $w_2=(1+1/\sqrt2)+i(1+1/\sqrt2)$ のとき成立し、この点は円上かつ直線上にある。ゆえに求める最大値は $$\boxed{4+2\sqrt2}.$$