4獨協医科大学 2021年 2日目 数学 第4問解答・解説

A答案 Q4 — 獨協医科大学 2021

(1) 変換後の円

$$\displaystyle w=\frac{iz-(1+i)}{2z-5}$$ を $z$ について解くと $$w(2z-5)=iz-(1+i),\qquad (2w-i)z=5w-(1+i),$$ ゆえに $$\displaystyle z=\frac{5w-1-i}{2w-i}.$$ また $$\displaystyle z-1=\frac{3w-1}{2w-i}.$$ 円 $C_1$ の条件 $|z-1|=1$ に代入して $$|3w-1|=|2w-i|.$$ $w=s+it$ と書いて両辺を2乗すると $$(3s-1)^2+9t^2=4s^2+(2t-1)^2$$ なので $$\displaystyle s^2+t^2-\frac65s+\frac45t=0 \quad\text{すなわち}\quad \left(s-\frac35\right)^2+\left(t+\frac25\right)^2=\frac{13}{25}.$$ 従って $C_2$ の中心は $\displaystyle \frac35-\frac25i$、半径は $\displaystyle \frac{\sqrt{13}}5$。 箱対応：ア=5、イ=1、ウ=2、エ=3、オ=1、カ=2、キ=3、ク=5、ケ=2、コサ=13、シ=5。

(2) 交点と偏角

$w=s+it$ とおく。円 $C_1$ は $s^2+t^2=2s$、円 $C_2$ は $\displaystyle s^2+t^2-\frac65s+\frac45t=0$。差をとると $s+t=0$。これを $s^2+t^2=2s$ に代入して $2s(s-1)=0$ を得る。実部の小さい方が $$\beta=0,\qquad \gamma=1-i.$$

直線 $BC$ は $s+t=0$ で、点 $A(1)$ は $s+t>0$ 側にある。

まず $u=s+it$ が円$C_1$上にあるなら $s^2+t^2=2s$。分数を有理化すると $$\displaystyle \frac{u-\gamma}{u-\beta} =\frac{(s-1)+i(t+1)}{s+it} =\frac{s+t}{2s}(1+i).$$ 同じ側の条件は $s+t>0$。また $C_1$ 上で $u\ne\beta$ なら $s>0$ だから係数は正であり、 $$\displaystyle \arg\left(\frac{u-\gamma}{u-\beta}\right)=\arg(1+i).$$ したがってソ=1。

次に $v=s+it$ が円$C_2$上にあるなら $\displaystyle s^2+t^2=\frac65s-\frac45t$。同様に $$\displaystyle \frac{v-\gamma}{v-\beta} =\frac{(s-1)+i(t+1)}{s+it} =\frac{s+t}{s^2+t^2}\left(\frac15+i\right) =\frac{s+t}{5(s^2+t^2)}(1+5i).$$ 同じ側の条件は $s+t>0$。$v\ne\beta$ なので分母 $s^2+t^2>0$、係数は正であり、 $$\displaystyle \arg\left(\frac{v-\gamma}{v-\beta}\right)=\arg(1+5i).$$ 従ってタ=5。

最終答案

(1) $\displaystyle z=\frac{5w-1-i}{2w-i}$、$|3w-1|=|2w-i|$、$C_2$ の中心 $\displaystyle \frac35-\frac25i$、半径 $\displaystyle \frac{\sqrt{13}}5$。 (2) $\beta=0,\ \gamma=1-i$、偏角はそれぞれ $\arg(1+i)$、$\arg(1+5i)$。

使用解法：複素数の一次分数式の変形、絶対値の平方と平方完成、円の連立、複素数の有理化と正の実数倍。 issues：なし。