9長崎大学 2021年 数学 第9問解答・解説

(1) まず、|z_1|=1 である。|z_n|=1 と仮定すると z_n=1/2 ではないので 2z_n-1$\ne$0 であり、次の項が定まる。また、$$|z_n-2|^2=|z_n|^2-2(z_n+\overline{z_n})+4=5-4\operatorname{Re}z_n,\qquad |2z_n-1|^2=4|z_n|^2-2(z_n+\overline{z_n})+1=5-4\operatorname{Re}z_n.$$ よって |z_{n+1}|=1 である。数学的帰納法により、すべての自然数 n について |z_n|=1 となる。

(2) 漸化式をもう一度用いると、$$\displaystyle z_{n+2}=\frac{\dfrac{z_n-2}{2z_n-1}-2}{2\dfrac{z_n-2}{2z_n-1}-1}=\frac{-3z_n/(2z_n-1)}{-3/(2z_n-1)}=z_n.$$ したがって、数列は z_1,z_2,z_1,z_2,$\ldots$ と交互に並ぶ。連続する2点の組は P_1P_2 と P_2P_1 の繰り返しだから、線分 $P_nP_{n+1}$ の長さは常に |z_1-z_2| で一定である。

(3) $z_n=x+yi$ とおくと x^2+y^2=1 である。分母を共役複素数で有理化し、x^2+y^2=1 を使うと$$\displaystyle z_{n+1}=\frac{(x-2+yi)(2x-1-2yi)}{(2x-1)^2+4y^2}=\frac{4-5x+3yi}{5-4x}.$$ ここで 5-4x$\ge$1>0 だから、$$\displaystyle X=\frac{4-5x}{5-4x},\qquad Y=\frac{3y}{5-4x}.$$ よって X<0 かつ Y>0 は x>4/5 かつ y>0 と同値である。求める範囲は単位円上でこの条件を満たす部分、すなわち (4/5,3/5) と (1,0) を端点として含まない第1象限の弧である。

(4) (2) より各三角形の頂点は O,P_1,P_2 の組である。|z_1|=|z_2|=1 なので OP_1=OP_2=1 であり、非退化な三角形が直角三角形なら直角は O にある（P_1 または P_2 が直角なら、等しい長さ 1 の辺が斜辺と直角をはさむ辺になり、他の辺が 0 となって退化する）。(3) より z_2=X+Yi とすると$$\displaystyle X=\frac{4-5a}{5-4a},\qquad Y=\frac{3b}{5-4a}.$$ 直角が O にある条件は、二辺の内積が 0、すなわち aX+bY=0 である。a^2+b^2=X^2+Y^2=1 を用いると、これは |z_2-z_1|^2=2 とも同値である。代入して$$\displaystyle aX+bY=\frac{a(4-5a)+3b^2}{5-4a}=\frac{3+4a-8a^2}{5-4a}=0.$$ a>0 かつ a^2+b^2=1 より 5-4a>0 だから、8a^2-4a-3=0 を解いて a=(1+$\sqrt7$)/4 を得る。さらに$$\displaystyle b=\sqrt{1-a^2}=\sqrt{\frac{4-\sqrt7}{8}}$$ であり、正の条件を満たす。この値では aX+bY=0 となるため O が直角であり、P_1,P_2 は異なる点である。三角形は n によらずこの同じ2点を交互に結ぶので、すべての n について条件が成り立つ。