4長崎大学 2021年 数学 第4問解答・解説

立方体の3辺は互いに垂直で長さ1だから、$\vec a,\vec c,\vec d$ は互いに垂直な単位ベクトルである。座標を $O=(0,0,0)$、$A=(1,0,0)$、$C=(0,1,0)$、$D=(0,0,1)$ とすれば、$E=(1,0,1)$、$F=(1,1,1)$、$G=(0,1,1)$ となる。

$L$ は $AE$ の中点、$M$ は $CM:MG=3:1$ だから $$\displaystyle \overrightarrow{OL}=\vec a+\frac12\vec d,\qquad \overrightarrow{OM}=\vec c+\frac34\vec d.$$ したがって $$\displaystyle |\overrightarrow{OL}|=\frac{\sqrt5}{2},\qquad |\overrightarrow{OM}|=\frac54,\qquad \overrightarrow{OL}\cdot\overrightarrow{OM}=\frac38,$$ $$\displaystyle \cos\angle LOM=\frac{3/8}{(\sqrt5/2)(5/4)}=\frac{3}{5\sqrt5}=\frac{3\sqrt5}{25}.$$ さらに $$\displaystyle S_1=\frac12\sqrt{|OL|^2|OM|^2-(OL\cdot OM)^2} =\frac12\sqrt{\frac{125-9}{64}}=\frac{\sqrt{29}}8.$$

$X=x\vec a+y\vec c+z\vec d$ とすると、$O,L,M$ を通る平面 $T$ の方程式は $$4z-2x-3y=0.$$ 辺 $EF$ 上では $x=z=1$ なので $y=2/3$、辺 $GF$ 上では $y=z=1$ なので $x=1/2$。従って $$\displaystyle p=\frac{EP}{EF}=\frac23,\quad q=\frac{GQ}{GF}=\frac12,$$ $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\vec a+\frac23\vec c+\vec d,\qquad \overrightarrow{OQ}=\frac12\vec a+\vec c+\vec d.$$

(3) 点の位置ベクトルの差から $$\displaystyle \overrightarrow{LP}=\frac23\vec c+\frac12\vec d,\qquad \overrightarrow{MQ}=\frac12\vec a+\frac14\vec d.$$ 平面 $T$ 上の点は $$\displaystyle (x,y)\longmapsto x\left(\vec a+\frac12\vec d\right)+y\left(\vec c+\frac34\vec d\right)$$ と表せる。この2方向ベクトルを $\vec u,\vec v$ とすると $$\displaystyle |\vec u|^2=\frac54,\quad |\vec v|^2=\frac{25}{16},\quad \vec u\cdot\vec v=\frac38,$$ なので、$(x,y)$ 平面上の面積から実際の平面面積への倍率は $$\displaystyle \sqrt{|\vec u|^2|\vec v|^2-(\vec u\cdot\vec v)^2}=\frac{\sqrt{29}}4.$$ $(x,y)$ 平面上の五角形の頂点は順に $(0,0),(1,0),(1,2/3),(1/2,1),(0,1)$ で、その面積は三角形 $OLP,OPQ,OQM$ に分けて $$\displaystyle \frac12\cdot\frac23+\frac12\cdot\frac23+\frac12\cdot\frac12=\frac{11}{12}.$$ よって $$\displaystyle S_2=\frac{11}{12}\cdot\frac{\sqrt{29}}4=\frac{11\sqrt{29}}{48}.$$

(4) 平面 $T$ の法線方向は $\vec n=-2\vec a-3\vec c+4\vec d$ である。垂足を $H=D+t\vec n$ とおき平面方程式に代入すると $29t+4=0$、従って $t=-4/29$。よって $$\displaystyle \overrightarrow{OH}=\frac8{29}\vec a+\frac{12}{29}\vec c+\frac{13}{29}\vec d, \qquad |\overrightarrow{DH}|=\frac4{\sqrt{29}}.$$ 五角錐の体積は $$\displaystyle V=\frac13S_2|DH|=\frac13\cdot\frac{11\sqrt{29}}{48}\cdot\frac4{\sqrt{29}}=\frac{11}{36}.$$