6愛媛大学 2021年 数学 第6問解答・解説

{ 準備.}　 $\angle BOC=\theta$ とおくと $\displaystyle x=\sin\dfrac{\theta}{2}$（$\displaystyle 0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より $\displaystyle 0<\dfrac{\theta}{2}<\dfrac{\pi}{4}$，よって $\displaystyle 0<x<\dfrac{1}{\sqrt2}$，特に $1-2x^{2}>0$）。以下 $|\vec a|,|\vec b|,|\vec c|$ 等は長さを表す。

{ (1)(i).}　 $\triangle OBC$ は $OB=OC=1$ の二等辺三角形で頂角が $\theta$ だから，余弦定理により $$\displaystyle BC^{2}=OB^{2}+OC^{2}-2\,OB\cdot OC\cos\theta=2-2\cos\theta=2\Big(1-\cos\theta\Big)=4\sin^{2}\frac{\theta}{2}=4x^{2}.$$ $BC>0$ より $BC=2x$（$\text{ア}=2x$）。また二倍角の公式 $\displaystyle \cos\theta=1-2\sin^{2}\dfrac{\theta}{2}$ より $$\cos\angle BOC=1-2x^{2}\quad(\text{イ}).$$

{ (1)(ii).}　 $|\vec b|=|\vec c|=1$ なので $$\vec b\cdot\vec c=|\vec b||\vec c|\cos\angle BOC=1-2x^{2}\quad(\text{ウ}).$$ 次に $\triangle ABO$ において $AB=OB=1$，$\angle ABO=\theta$ である。$\overrightarrow{BA}=\vec a-\vec b$，$\overrightarrow{BO}=-\vec b$ であり，$|\overrightarrow{BA}|=|\overrightarrow{BO}|=1$ だから $$\displaystyle \cos\angle ABO=\frac{\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BO}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BO}|}=(\vec a-\vec b)\cdot(-\vec b)=\vec b\cdot\vec b-\vec a\cdot\vec b=1-\vec a\cdot\vec b.$$ これが $\cos\theta=1-2x^{2}$ に等しいので $$1-\vec a\cdot\vec b=1-2x^{2}\ \quad\text{より}\quad\ \vec a\cdot\vec b=2x^{2}\quad(\text{エ}).$$ さらに $AB=1$ より $|\vec b-\vec a|^{2}=|\vec a|^{2}-2\vec a\cdot\vec b+|\vec b|^{2}=1$ であるから $$|\vec a|^{2}=1+2\vec a\cdot\vec b-|\vec b|^{2}=1+4x^{2}-1=4x^{2}\ \quad\text{より}\quad\ |\vec a|=2x\ (=OA).$$ 最後に $AC=1$，すなわち $|\vec c-\vec a|^{2}=|\vec a|^{2}-2\vec a\cdot\vec c+|\vec c|^{2}=1$ を用いると $$4x^{2}-2\vec a\cdot\vec c+1=1\ \quad\text{より}\quad\ \vec a\cdot\vec c=2x^{2}\quad(\text{オ}).$$ （この式は $\angle ACO=\angle ABO$ を仮定しなくても $AC=1$ と $|\vec a|=2x$ のみから従う。）

{ (2)(i).}　 $P$ は $BC$ を $s:(1-s)$ に内分するから $$\overrightarrow{OP}=(1-s)\vec b+s\vec c.$$ したがって $$\begin{aligned} OP^{2}&=(1-s)^{2}|\vec b|^{2}+2s(1-s)\,\vec b\cdot\vec c+s^{2}|\vec c|^{2}\\ &=(1-s)^{2}+s^{2}+2s(1-s)(1-2x^{2})\\ &=\big[1-2s(1-s)\big]+2s(1-s)(1-2x^{2})\\ &=1-2s(1-s)\big[1-(1-2x^{2})\big]\\ &=1-4x^{2}s(1-s). \end{aligned}$$ $0<s<1$，$\displaystyle 0<x<\dfrac1{\sqrt2}$ より $4x^{2}s(1-s)\le x^{2}<1$ なので右辺は正であり， $$OP=\sqrt{1-4s(1-s)x^{2}}.$$

{ (2)(ii).}　 $H$ は直線 $OP$ 上の点で $\overrightarrow{AH}\perp\overrightarrow{OP}$ を満たす（$OP$ 上への垂線の足）。$\overrightarrow{OH}=k\overrightarrow{OP}$ とすると $$\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{OP}=(\overrightarrow{OH}-\vec a)\cdot\overrightarrow{OP}=k\,OP^{2}-\vec a\cdot\overrightarrow{OP}=0.$$ ここで $$\vec a\cdot\overrightarrow{OP}=(1-s)\vec a\cdot\vec b+s\,\vec a\cdot\vec c=(1-s)(2x^{2})+s(2x^{2})=2x^{2}$$ （$\vec a\cdot\vec b=\vec a\cdot\vec c=2x^{2}$ より $s$ に依らず一定）。よって $$\displaystyle k=\frac{\vec a\cdot\overrightarrow{OP}}{OP^{2}}=\frac{2x^{2}}{1-4s(1-s)x^{2}}.$$

{ (2)(iii).}　 一般の $s$ で $$\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=\big(k\overrightarrow{OP}-\vec a\big)\cdot(\vec c-\vec b)=k\big[(1-s)\vec b+s\vec c\big]\cdot(\vec c-\vec b)-\vec a\cdot(\vec c-\vec b).$$ (1)より $\vec a\cdot\vec c-\vec a\cdot\vec b=2x^{2}-2x^{2}=0$ なので第2項は常に $0$。第1項の内積は $$\big[(1-s)\vec b+s\vec c\big]\cdot(\vec c-\vec b)=(1-s)(\vec b\cdot\vec c-|\vec b|^{2})+s(|\vec c|^{2}-\vec b\cdot\vec c)=(\vec b\cdot\vec c-1)(1-2s)$$ （$|\vec b|=|\vec c|=1$ を用いた）。よって $$\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=k(\vec b\cdot\vec c-1)(1-2s).$$ $\displaystyle s=\dfrac12$ とすると $1-2s=0$ であるから，$k$ の値によらず $$\overrightarrow{AH}\cdot\overrightarrow{BC}=0,$$ すなわち $\overrightarrow{AH}\perp\overrightarrow{BC}$ が成り立つ。（$\displaystyle s\neq\dfrac12$ では一般に $\vec b\cdot\vec c\neq1$ なのでこの直交は崩れることも分かる。）　$\blacksquare$

{ (3)(i).}　 $BC$ の中点を $M$ とすると，$\triangle OBC,\ \triangle ABC$ はともに二等辺三角形（$OB=OC=1$，$AB=AC=1$）で底辺 $BC=2x$ を共有するから $$OM=AM=\sqrt{OB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{1-x^{2}}.$$ 直線 $BC$ に対して $OM\perp BC$，$AM\perp BC$ なので，$\angle OMA$ が平面 $OBC$ と平面 $ABC$ の二面角（$BC$ に沿う）である。$\triangle OMA$ において $OM=AM=\sqrt{1-x^{2}}$，$OA=2x$（(1)より）なので余弦定理から $$\displaystyle \cos\angle OMA=\frac{OM^{2}+AM^{2}-OA^{2}}{2\,OM\cdot AM}=\frac{2(1-x^{2})-4x^{2}}{2(1-x^{2})}=\frac{1-3x^{2}}{1-x^{2}}.$$ したがって $$\displaystyle \sin^{2}\angle OMA=1-\left(\frac{1-3x^{2}}{1-x^{2}}\right)^{2}=\frac{(1-x^{2})^{2}-(1-3x^{2})^{2}}{(1-x^{2})^{2}}=\frac{4x^{2}(1-2x^{2})}{(1-x^{2})^{2}}$$ （$(1-x^2)^2-(1-3x^2)^2=[(1-x^2)-(1-3x^2)][(1-x^2)+(1-3x^2)]=(2x^2)(2-4x^2)=4x^2(1-2x^2)$ を用いた）。$0<\angle OMA<\pi$ なので $$\displaystyle \sin\angle OMA=\frac{2x\sqrt{1-2x^{2}}}{1-x^{2}}.$$ $A$ から平面 $OBC$ に下ろした垂線の長さ（四面体の高さ）$h$ は，$\triangle OMA$ の中で $M$ から見た $A$ の“平面からの浮き上がり”であり $$\displaystyle h=AM\sin\angle OMA=\sqrt{1-x^{2}}\cdot\frac{2x\sqrt{1-2x^{2}}}{1-x^{2}}=\frac{2x\sqrt{1-2x^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}.$$ 一方 $\triangle OBC$ の面積は $$\displaystyle \text{Area}(OBC)=\frac12\,OB\cdot OC\sin\theta=\frac12\sin\theta=\frac12\cdot2\sin\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{2}=x\sqrt{1-x^{2}}$$ （$\displaystyle \cos\dfrac{\theta}{2}=\sqrt{1-x^{2}}>0$，$\displaystyle 0<\dfrac{\theta}{2}<\frac{\pi}{4}$）。よって $$\displaystyle V=\frac13\,\text{Area}(OBC)\cdot h=\frac13\cdot x\sqrt{1-x^{2}}\cdot\frac{2x\sqrt{1-2x^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}=\frac{2}{3}x^{2}\sqrt{1-2x^{2}}.$$

{ (3)(ii).}　 $t=x^{2}$（$\displaystyle 0<t<\dfrac12$）とおくと $\displaystyle V=\dfrac23\sqrt{t^{2}(1-2t)}$ なので，$f(t)=t^{2}(1-2t)=t^{2}-2t^{3}$ の最大を考えればよい。 $$f'(t)=2t-6t^{2}=2t(1-3t).$$ $\displaystyle 0<t<\dfrac12$ において $f'(t)$ は $\displaystyle t=\dfrac13$ で符号が正から負に変わる（$\displaystyle 0<t<\frac13$ で $f'(t)>0$，$\displaystyle \frac13<t<\frac12$ で $f'(t)<0$）ので，$f(t)$ は $\displaystyle t=\dfrac13$ で最大となる： $$\displaystyle f\!\left(\frac13\right)=\frac19-2\cdot\frac1{27}=\frac{3}{27}-\frac{2}{27}=\frac{1}{27}.$$ （$t\to0^{+}$，$\displaystyle t\to\frac12^{-}$ でともに $f(t)\to0$ であることからも，内部の唯一の停留点 $\displaystyle t=\frac13$ が最大値を与えることが分かる。）よって $$\displaystyle V_{\max}=\frac23\sqrt{\frac{1}{27}}=\frac23\cdot\frac{1}{3\sqrt3}=\frac{2}{9\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{27},$$ このとき $\displaystyle x^{2}=\dfrac13$（すなわち $\displaystyle \cos\angle BOC=1-2x^{2}=\dfrac13$）である。　 このときの $\alpha$ は，(3)(i)で用いた二面角 $\angle OMA$ そのもの（$0<\angle OMA<\pi$ の角）である。$\displaystyle x^{2}=\dfrac13$ を $$\displaystyle \cos\angle OMA=\frac{1-3x^{2}}{1-x^{2}}$$ に代入すると，分子が $\displaystyle 1-3\cdot\dfrac13=0$ となるので $\cos\angle OMA=0$，すなわち $\displaystyle \angle OMA=\dfrac{\pi}{2}$。これは条件 $\displaystyle 0<\alpha\le\dfrac{\pi}{2}$ を満たすので，そのまま $$\displaystyle \alpha=\frac{\pi}{2}.$$