1山口大学 2010年 数学 第1問解答・解説

(1) 余弦定理より $\displaystyle \cos A=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2\,AB\,AC}=\frac{4^2+5^2-6^2}{2\cdot4\cdot5}=\frac18$。したがって $\displaystyle \sin A=\sqrt{1-\cos^2 A}=\frac{3\sqrt7}{8}$。外接円の半径を $R$ とすると、正弦定理より $\displaystyle \frac{BC}{\sin A}=2R$ だから $\displaystyle R=\frac{6}{2\cdot(3\sqrt7/8)}=\frac8{\sqrt7}=\frac{8\sqrt7}{7}$。

(2) 外心から各頂点までの距離は等しいので $|\vec a|=|\vec b|=|\vec c|=R$。したがって $AB^2=|\vec a-\vec b|^2=|\vec a|^2+|\vec b|^2-2\vec a\cdot\vec b$ より $16=2R^2-2\vec a\cdot\vec b$、ゆえに $\displaystyle \vec a\cdot\vec b=R^2-8=\frac{64}{7}-8=\frac87$。同様に $BC^2=|\vec b-\vec c|^2=|\vec b|^2+|\vec c|^2-2\vec b\cdot\vec c$ より $36=2R^2-2\vec b\cdot\vec c$、ゆえに $\displaystyle \vec b\cdot\vec c=R^2-18=\frac{64}{7}-18=-\frac{62}{7}$。

(3) 角の二等分線の性質から $BD:DC=AB:AC=4:5$。$BC=6$ より $\displaystyle BD=\frac83,\ DC=\frac{10}{3}$ であり、内分点の位置ベクトルの公式から $\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{5\vec b+4\vec c}{9}$。よって $\displaystyle \overrightarrow{OB}\cdot\overrightarrow{AD}=\vec b\cdot(\overrightarrow{OD}-\vec a)=\frac{5|\vec b|^2+4\vec b\cdot\vec c}{9}-\vec a\cdot\vec b=\frac{5\cdot(64/7)+4\cdot(-62/7)}9-\frac87=0$。 したがって $\overrightarrow{OB}\perp\overrightarrow{AD}$。