4山口大学 2010年 数学 第4問解答・解説

(1) 赤・白・青の確率を $p,q,r$ とする。$1-(1-p)^2=5/9$ と $0<p<1$ より $p=1/3$。また $p^2+q^2+r^2=1/3$、$q+r=2/3$ なので $$(q-r)^2=2(q^2+r^2)-(q+r)^2=0.$$ よって赤・白の確率はともに $\boxed{1/3}$。各色の個数は等しく、これを $n\ge2$ とする。

(2) 各回の2玉の取り方は $\displaystyle \binom{3n}{2}$ 通りで、各回の試行は独立である。 1回目が同色なら、その色の選択が3通り、2玉の選択が $\displaystyle \binom n2$ 通り、2回目は残り2色から $\displaystyle \binom{2n}{2}$ 通り。 1回目が異色なら、色の組が3通り、玉の選択が $n^2$ 通り、2回目は残り1色から $\displaystyle \binom n2$ 通り。 したがって求める確率は $$\displaystyle \frac{3\binom n2\binom{2n}{2}+3n^2\binom n2}{\binom{3n}{2}^2}=\frac{2(n-1)}{3(3n-1)}=\frac16.$$ $12(n-1)=3(3n-1)$ より $n=3$。各色 $\boxed{3\text{個}}$ である。検算すると分子は $3\cdot3\cdot15+3\cdot9\cdot3=216$、分母は $36^2=1296$ で、比は $1/6$。