1北里大学 2010年 数学 第1問解答・解説

(1) $t=\cos x$ とおくと、$-1\le t\le1,\ \sin^2x=1-t^2,\ \cos2x=2t^2-1$ である。したがって $$f(x)=6(1-t^2)+2t(2t^2-1)-7t-6=4t^3-6t^2-9t.$$ この右辺を t で微分すると $$12t^2-12t-9=3(2t+1)(2t-3)$$ であり、$-1\le t\le1$ の範囲で導関数が0になる点は $\displaystyle t=-\frac12$ である。端点と停留点での値は $$\displaystyle f(-1)=-1,\qquad f(1)=-11,\qquad f\!\left(-\frac12\right)=\frac52.$$ よって最大値は $\displaystyle \frac52$ で、$\displaystyle t=-\frac12$、すなわち $\displaystyle x=\frac{2\pi}{3}$ のときにとる。最小値は $-11$ で、$t=1$、すなわち $x=0$ のときにとる。

(2) $A(5,a)$ は双曲線上にあり第1象限にあるから $$\displaystyle \frac{25}{9}-\frac{a^2}{4}=1,\qquad a>0$$ より $\displaystyle a=\frac83$ である。双曲線を陰関数として微分すると $$\displaystyle \frac{2x}{9}-\frac{y}{2}\frac{dy}{dx}=0,\qquad \left.\frac{dy}{dx}\right|_{(5,\,8/3)}=\frac{4\cdot5}{9\cdot(8/3)}=\frac56.$$ したがって A における接線は $$\displaystyle y-\frac83=\frac56(x-5),\qquad y=\frac56x-\frac32.$$ これと $\displaystyle y=\frac23x$ との交点は $P=(9,6)$、$\displaystyle y=-\frac23x$ との交点は $\displaystyle Q=(1,-\frac23)$ である。よって $$\displaystyle AP=\sqrt{(9-5)^2+(6-\frac83)^2} =\sqrt{16+\frac{100}{9}}=\frac{2\sqrt{61}}3,$$ $$\displaystyle AQ=\sqrt{(1-5)^2+(-\frac23-\frac83)^2} =\sqrt{16+\frac{100}{9}}=\frac{2\sqrt{61}}3,$$ したがって $\displaystyle \frac{AP}{AQ}=1$.

(3) 8枚の個々のカードは区別でき、4枚を順に並べる全事象は $$8\cdot7\cdot6\cdot5=1680$$ 通りである。 (i) 緑を含まない並べ方は、緑以外の6枚から順に4枚を取るので $$6\cdot5\cdot4\cdot3=360$$ 通り。確率は $\displaystyle \frac{360}{1680}=\frac3{14}$. (ii) ちょうど2色となるには、選んだ2色の各2枚をすべて使う。色の選び方が $\displaystyle \binom42$ 通り、各々の並べ方が $4!$ 通りだから $$\displaystyle \frac{\binom42\,4!}{1680}=\frac{144}{1680}=\frac3{35}.$$ (iii) 4色すべてを1枚ずつ選ぶ方法が $2^4$ 通りあり、並べ方は $4!$ 通りなので $$\displaystyle \frac{2^4\,4!}{1680}=\frac{384}{1680}=\frac8{35}.$$ (iv) 隣り合う色が同じでない色列を、使用色の枚数ごとに数える。4色すべてを1枚ずつ使う場合は、色列が $4!$ 通り、個々のカードの選び方が $2^4$ 通りで、384通り。1色を2枚、別の2色を各1枚使う場合は、重複色を4通り、他の2色を $\displaystyle \binom32$ 通りで選ぶ。色列は全体 $4!/2!=12$ 通りのうち、重複色が隣り合うものが $3!=6$ 通りあるので、条件を満たす色列は6通り。個々のカードの割当ては $2!\cdot2\cdot2=8$ 通りだから、$\displaystyle 4\binom32\cdot6\cdot8=576$ 通り。2色を各2枚使う場合は、2色の選び方が $\displaystyle \binom42$ 通り、隣り合わない色列は交互の2通り、個々のカードの割当ては $2!\cdot2!=4$ 通りで、48通り。したがって求める確率は $$\displaystyle \frac{384+576+48}{1680}=\frac{1008}{1680}=\frac35.$$