3北里大学 2010年 数学 第3問解答・解説

$F(x)=(x^2-x)^n$ とおく。

$(1)\ F(x)$ の最高次の項は $x^{2n}$ であるから、その $n$ 階導関数の最高次の項は $$\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}x^{2n}=\frac{(2n)!}{n!}x^n.$$ それ以外の項は次数が $2n$ より低く、$n$ 回微分した後も次数 $n$ より低い。したがって $f(x)$ は $n$ 次で、その最高次の係数は $\displaystyle \frac{(2n)!}{n!}$ である。

$(2)\ m$ に関する数学的帰納法で示す。$m=0$ では $F(x)=F(x)\cdot1$ で、因子 $R_0(x)=1$ は$0$次である。$0\le m<n$ に対し $$F^{(m)}(x)=(x^2-x)^{n-m}R_m(x),\qquad \deg R_m=m$$ と仮定する。両辺を微分すると $$F^{(m+1)}(x)=(x^2-x)^{n-m-1} \left\{(n-m)(2x-1)R_m(x)+(x^2-x)R'_m(x)\right\}.$$ そこで波括弧内を $R_{m+1}(x)$ とおく。$R_m$ の最高次の係数を $c_m$ とすると、$R_{m+1}$ の $x^{m+1}$ の係数は $$2(n-m)c_m+mc_m=(2n-m)c_m\ne0$$ である。よって $R_{m+1}$ は $m+1$ 次である。以上から $0\le m<n$ の各 $m$ で所定の形に表せる。

$(3)\ 0\le j<n$ について (2) より $$F^{(j)}(x)=(x^2-x)^{n-j}R_j(x)$$ と書けるので、$F^{(j)}(0)=F^{(j)}(1)=0$ である。したがって部分積分を $n$ 回行うと、すべての境界項が$0$になり、 $$\displaystyle \int_0^1F^{(n)}(x)g(x)\,dx =-\int_0^1F^{(n-1)}(x)g'(x)\,dx =\cdots=(-1)^n\int_0^1F(x)g^{(n)}(x)\,dx.$$ $F^{(n)}=f,\ F=(x^2-x)^n$ なので、求める等式が得られる。

$(4)\ n=4,\ g(x)=2x^5-5x^4$ とする。(3) を用いると $$\displaystyle \int_0^1f(x)g(x)\,dx=\int_0^1(x^2-x)^4g^{(4)}(x)\,dx.$$ $g^{(4)}(x)=240x-120$ かつ $(x^2-x)^4=x^4(1-x)^4$ だから、求める積分を $I$ とおけば $$\displaystyle I=\int_0^1x^4(1-x)^4(240x-120)\,dx.$$ $x$ を $1-x$ に置き換えると積分の値は $-I$ となる一方、積分する範囲は $0\le x\le1$ のままである。ゆえに $I=-I$、したがって $I=0.$