3大分大学 2017年 数学 第3問解答・解説

時刻 $t$ における $P$ の $x$ 座標を $x$、$Q$ の $x$ 座標を $u$ とする。運動の向きから $x\ge 0$、$u\le 1$ である。曲線 $y=f(x)$ 上を横座標が変化するとき、弧長の微小量は $\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx$ である。

(1) $P$ の出発点からの移動距離は $$\displaystyle S(x)=\int_0^x\sqrt{1+4v^2}\,dv$$ である。一方、$Q$ は $x$ 座標が減少する向きに動くので、その移動距離は $$\displaystyle \int_u^1\sqrt{1+4(v-1)^2}\,dv=\int_0^{1-u}\sqrt{1+4w^2}\,dw=S(1-u)$$ となる。速さはいずれも $1$ だから、同じ時刻には移動距離が等しい。$S$ は被積分関数が常に正であるため、変数の値が大きくなると必ず大きくなる。したがって、$S(x)=S(1-u)$ より $x=1-u$、すなわち $u=1-x$ である。よって $$Q=(1-x,(1-x)^2-2(1-x))=(1-x,x^2-1).$$

(2) (1)より、距離の2乗を $x$ で表すと $$PQ^2=(2x-1)^2+(1-2x^2)^2=4x^4-4x+2\qquad(x\ge0).$$ この導関数は $16x^3-4$ である。$a=4^{-1/3}=2^{-2/3}$ とおくと、導関数は $0\le x<a$ で負、$x>a$ で正となるので、最小値は $x=a$ のときにとる。$4a^3=1$ を用いて $$\displaystyle PQ^2\big|_{x=a}=4a^4-4a+2=a-4a+2=2-3a=2-\frac{3}{2^{2/3}}.$$ このとき $P=(a,-a^2)=(2^{-2/3},-2^{-4/3})$ である。

(3) $x+\sqrt{x^2+1}>0$ はすべての実数 $x$ で成り立つ。連鎖律と積の微分法より $$\displaystyle \begin{aligned} g'(x)&=\frac12\frac{1+x/\sqrt{x^2+1}}{x+\sqrt{x^2+1}}+\frac12\left(\sqrt{x^2+1}+\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}}\right)\ &=\frac{1}{2\sqrt{x^2+1}}+\frac{1+2x^2}{2\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}. \end{aligned}$$

(4) $P$ が横座標 $a$ に達するまでの移動距離がその時刻であるから、(3)で得た原始関数を使い、$z=2v$ と置換すると $$\displaystyle \begin{aligned} t&=\int_0^a\sqrt{1+4v^2}\,dv=\frac12\int_0^{2a}\sqrt{1+z^2}\,dz\ &=\frac12\{g(2a)-g(0)\}=\frac12g(2a). \end{aligned}$$ ここで $a=2^{-2/3}$、$2a=2^{1/3}$、$g(0)=0$ より $$\displaystyle t=\frac14\log\left(2^{1/3}+\sqrt{1+2^{2/3}}\right)+2^{-5/3}\sqrt{1+2^{2/3}}.$$